ดูต้นฉบับสำหรับ VC-SNDP:spider decomposition

This page describes '''spider decompositions''' and the approach of Chuzhoy Khanna and [http://arxiv.org/abs/0902.2795 Chekuri and Korula] in tackling the single-source k sndp.

ให้กราฟ <math>G=(V,E)</math> เซตของ terminals ''T'' และจำนวนเต็มบวก <math>k</math> เรียกโหนดใน ''T'' ว่าเป็น black vertices, นอกจากนั้นเป็น white vertices.

'''Spider''' คือ tree ที่มีโหนดที่มีดีกรีมากกว่าสองไม่เกิน 1 จุดยอด ถ้ามี vertex ดังกล่าว จะเรียกว่าเป็น '''head'''  ถ้าไม่มี spider จะเป็น path และจะสามารถเรียกโหนดใดเป็น head ก็ได้; เรียกจุดยอดที่ไม่ใช่ leaf และ head ว่า '''intermediate vertex''', เรียก leaf ว่า '''foot''', เรียก path จาก head ไป leaf ว่า '''leg'''

=== ภาพรวม (ตาม Chekuri-Korula) ===
* อัลกอริทึมใช้ greedy augmentation บนลำดับแบบสุ่มของ terminal
* cost พิสูจน์ด้วย '''Theorem 4.2''' ที่แสดงว่า cost ในการทำ augmentation '''จากทุกโหนด''' ไม่เกิน <math>8k\cdot OPT</math> (ดูด้านล่าง)
* key lemma คือ '''Lemma 4.3''' ที่แสดงว่ามีจากทุก ๆ terminal มี set ของ internal vertex disjoint path ไปยัง terminal อื่น ๆ  ที่ cost รวมไม่เกิน 2 เท่าของ opt, lemma นี้พิสูจน์ได้โดยแสดงว่ามี spider decomposition
* spider decomposition พิสูจน์ด้วย Reduction Lemma

'''ข้อสังเกต''': จาก Lemma 4.3 มา Theorem 4.2 เสียไป <math>k</math>

== Decomposition ==

Chuzhoy และ Khanna ได้ใช้ spider decomposition ในการพิสูจน์ approximation algorithm สำหรับ ss-k-sndp  อย่างไรก็ตามในที่นี้เราจะใช้ decomposition ที่ weak กว่าของ Chekuri และ Korula

Chekuri-Korula [Theorem 4.4] แสดงว่า ให้กราฟ G ที่ทุก ๆ คู่ของจุดยอดสีดำ ''k''-element connected, มีสับกราฟ ''H'' ของ ''G'' ที่สามารถ partition เป็น spiders ที่
# ทุก ๆ leaf เป็น black vertex และ ทุก ๆ intermediate vertex เป็น white vertex  (สังเกตว่า head เป็น black vertex ได้)
# ทุก ๆ black vertex เป็น '''foot ของ ''k'' spiders พอดี''', และ ทุก ๆ white vertex '''อยู่ใน 1 spider เท่านั้น'''
# สำหรับกรณีที่ spider มี white vertex เป็น head จะต้องมี leg อย่างน้อย 2 legs

ด้านล่างแสดงตัวอย่างของ spiders

[[ภาพ:Spiders.png]]

===spider decomposition กับ set ของ paths===
พิจารณา spider แต่ละตัว เราจะพบว่าเราสามารถหาเซตของ path จากแต่ละ foot หนึ่ง ๆ ไปยังอีก foot ใด ๆ ได้ โดยที่ค่าใช้จ่ายรวมไม่เกิน 2 เท่าของ cost ของ spider  (ดูรูป)

[[ภาพ:Spiders-paths.png]]

ดังนั้น ถ้าเรามี spider decomposition เราจะได้ว่าเราสามารถหา, สำหรับทุก ๆ terminal <math>t</math>, set of <math>k</math> internally vertex disjoint paths <math>{\mathcal P}_t</math> ที่ <math>\sum_{t\in T}cost({\mathcal P}_t)\leq 2\cdot(\mbox{cost of all spiders})</math> เพราะว่า

* สังเกตว่า white vertex ไม่ share กันระหว่าง spider
* ทุก ๆ black vertex เป็น leg ของ ''k'' spiders (ดังนั้นดึงมาตัวละ path)

ด้านบนคือหัวใจของบทพิสูจน์ของ Lemma 4.3 ใน Chekuri-Korula

===Spider decomposition บนกรณี bipartite===
พิจารณากรณีที่ไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง 2 white vertices  เราสามารถสมมติว่าไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง black vertices ได้ด้วย โดยการใส่จุดขาวลงไปตรงกลางเส้นเชื่อมระหว่าง black vertices  ดังนั้นเราอยู่ในกรณีที่กราฟเป็น bipartite โดยกลุ่มหนึ่งคือ white vertices อีกกลุ่มคือ black vertices

เราจะแสดงว่า ในกรณี bipartite ดังกล่าว บนกราฟที่ทุก ๆ terminal นั้น <math>k</math>-vertex connected ไปยัง root จะมี spider decomposition

* ก่อนอื่น สังเกตว่า เราสามารถลบ white vertex ที่มี degree เป็น 1 ทิ้งได้ (เพราะว่าไม่ได้ทำให้ terminal ใดติดกับใครได้เลย)
* จากนั้น สังเกตว่าทุก ๆ terminal <math>u</math> จะต้องมี อย่างน้อย <math>k</math> vertices ที่ติดกับมัน และจะต้องเป็น white vertices ทั้งหมดด้วย  
* เลือก edge ที่ติดกับ <math>u</math> มา <math>k</math> edges
* พิจารณา white vertex <math>v</math> ที่มีบาง edge ที่ติดกับมันโดนเลือก
** ถ้ามีอย่างน้อย 2 edge --- ให้ vertex นั้นเป็น head ของ spider และให้แต่ละ terminal ที่เลือก edge เหล่านั้นเป็น foot ของ spider
** ถ้ามีแค่ edge เดียว --- ให้เลือก edge ที่ติดกับ <math>v</math> ไปยัง อีก terminal หนึ่ง สมมติว่าเป็น <math>w</math>, ให้ <math>w</math> เป็น head ของ spider ที่มี <math>u</math> เป็น foot

พิจารณารูปด้านล่าง (กรณี k=2)  รูปซ้ายแสดงการเลือก เส้นเชื่อมสีเขียวคือเส้นเชื่อมที่ไม่ถูกเลือก  รูปขวาแสดง spider 2 spider, สังเกตว่า black vertex ที่สามจากซ้าย เป็น foot ของ 2 spiders และเป็น head ของอีก 1 spider

[[ภาพ:Spider-bipartite.png]]

===บทพิสูจน์: มี spider decomposition (Thm 4.4 ใน Chekuri-Korula)=== 

 ส่วนนี้จะมาเขียนทีหลัง

โดย induction บนจำนวน edge ระหว่าง white vertices ใน G
ใน base case ให้กราฟ G ไม่มี edge ดังกล่าวเลย จะได้ว่า G เป็น bipartite. ( edge ระหว่าง black vertices ก็ไม่มีด้วย)
เนื่องจากแต่ละคู่ของ black vertices เป็น k-element connected แสดงว่าแต่ละ black vertex จะต้องมีอย่างน้อย k white vertices ที่ติดกับมัน

เราจะสร้าง set of spiders โดยให้แต่ละโหนด b

== Approximating SS-k-VC-SNDP ==
ในส่วนนี้จะอธิบายอัลกอริทึมตามที่ปรากฎใน Chekuri-Korula

ให้กราฟ <math>G=(V,E)</math> เซตของ terminals <math>T</math> และ root <math>r</math> 

สำหรับสับเซตของ terminals <math>T'</math> ใด ๆ และ terminal <math>t\in T-T'</math>, เราจะกล่าวว่า เซตของ <math>k</math> paths <math>p_1,p_2,\ldots,p_k</math> เป็น '''augmentation for <math>t</math> w.r.t. <math>T'</math>''' ถ้า

* path เริ่มที่ ''t'' ไปถึงโหนดใน <math>T'\cup\{r\}</math>
* path เหล่านั้น internally vertex disjoint,
* terminal ใน <math>T'</math> เป็นจุดปลายได้แค่ path เดียว

อัลกอริทึมเป็นดังนี้

 1. สุ่มลำดับ terminal ให้เป็น <math>t_1,t_2,\ldots,t_j</math>
 2. ให้ ''H'' เป็นกราฟว่าง
 3. พิจารณา <math>t=t_1,t_2,\ldots</math>
    3.1 หา min-cost augmentation for <math>t</math> w.r.t. <math>T_{i-1}</math> เมื่อ <math>T_i=\{t_1,\ldots,t_i\}</math>
    3.2 นำผลลัพธ์ที่ได้ใส่ใน ''H''
 4. output ''H''

=== ความถูกต้อง ===

 เก็บไว้เป็นการบ้านก่อนแล้วกันนะ ;)

=== ค่าใช้จ่าย ===
key หลักในการพิสูจน์เกี่ยวกับค่าใช้จ่ายคือ Theorem 4.2 ดังแสดงด้านล่าง

{{กล่องสี|#ddddff|
'''Theorem 4.2''' ให้ ''OPT'' แทนค่าใช้จ่ายของ optimal solution, และ <math>AugCost(t)</math> แทนค่าใช้จ่ายในการ augmentation for ''t'' w.r.t <math>T-\{t\}</math>, <math>\sum_{t} AugCost(t)\leq 8k\cdot OPT</math>
}}

จาก theorem ดังกล่าว เราจะพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมด้านบนมี expected cost <math>O(k\cdot\log|T|\cdot OPT)</math>

{{กล่องสี|#ddffdd|
'''Claim:''' Expected cost ในการ augment <math>t_i</math> คือ <math>8k\cdot OPT/i</math>
}}

'''Proof of claim:''' (sketch) สำหรับ <math>T'\subseteq T</math>, ให้ <math>OPT(T')</math> แทนคำตอบที่ดีที่สุดของ SS-k-SNDP เมื่อให้ terminal set เป็น <math>T'</math>

* <math>OPT(T')\leq OPT(T)</math>
* ใช้ Theorem 4.2 บน <math>T_i</math> จะได้ว่า <math>\sum_{t\in T_i} AugCost(t)\leq 8k\cdot OPT(T_i)\leq 8k\cdot OPT(T)</math>
* สังเกตว่า given <math>T_i</math> โหนดสุดท้ายที่จะถูก add (นั่นคือ <math>t_i</math>) สามารถเป็นโหนดใด ๆ ก็ได้ใน <math>T_i</math> ดังนั้น expected cost คือ <math>8k\cdot OPT/i</math> ตามต้องการ เพราะ <math>|T_i|=i</math>

จาก claim ดังกล่าว approximation ratio สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ linearity of expectation.

*note ถ้าไม่สุ่ม permutation แล้วคิดแบบ expected จะมีกรณีที่อัลกอริทึมให้ผลลัพธ์ที่มีค่าใช้จ่ายเป็น <math>\Omega (|T|\cdot OPT)</math>

== Reduction lemma ==
=== Proof of the spider decomposition with the reduction lemma ===