ผลต่างระหว่างรุ่นของ "204512-53/lecture10"

รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 16:33, 11 ตุลาคม 2553

จดบันทึกคำบรรยายโดย:

  นายธนพล พุฒธรรม        5214550103 

  นายประธาน สมบูรณ์        5214550189 

  นายพีรพล บุญธกานนท์      5214550197 

  นายเมธา จึงประเสริฐ        5214550227

เนื้อหา

1 Dynamic Programming
2 ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน
3 ปัญหาที่ 2 วิธีการเดินทาง
4 ปัญหาที่ 3 ปัญหาการขึ้นบันได
5 ปัญหาที่ 4 การแบ่งหุ้น
6 ปัญหาที่ 5 การตั้งร้านกาแฟ
7 ปัญหาที่ 6 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด (Longest Increasing Subsequence)
8 ปัญหาที่ 7 ลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (Longest Common Subsequence)

Dynamic Programming

ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน

จากรูป แต่ละ node มีคะแนนอยู่ ต้องเริ่มจาก start ไปยัง end จะวิ่งทางไหนให้ได้คะแนนรวมสูงสุด ?
วิธีการพื้นฐานในการหาคำตอบ คือ ลองทุกทาง แล้วหาเส้นทางที่ได้ผลรวมคะแนนมากที่สุด จากความสูง k จะใช้เวลา O(2^k) ซึ่งใช้เวลาในการหาคำตอบที่นานมาก

พิจารณาปัญหาแบบ bottom-up ดูจากโหนดที่ 1 -> 2 -> … -> n ที่โหนด 2 และ โหนด 3 การจะไปที่โหนด 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่า

พิจารณาปัญหาแบบ top-down ดูจากโหนดที่ n -> (n-1) -> … -> 1 สังเกตโหนดที่ 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่าจาก 2 เส้นทางคือโหนด 2 หรือโหนด 3

ปัญหาที่ 2 วิธีการเดินทาง

วิธีเดินทางจากโหนด A ไปยังโหนด B ไปได้กี่วิธี ?

วิธีที่ง่ายสุดนับทุกเส้นทางจากโหนด A ไปยังโหนด B จากรูปมีเส้นเชื่อมโหนดครบทุกเส้นทำให้สามารถคำนวณได้เลยไม่ต้องนับ จะได้ ${\binom {8}{5}}$ หรือ ${\binom {8}{3}}$ จะได้ 56 วิธี

จากรูป ด้านบนถ้าเส้นเชื่อมไม่ครบทุกโหนดการคำนวณทำได้ยาก การจะนับทีละเส้นทางจาก A -> B ใช้เวลานาน ถ้าพิจารณาจากโหนด B ย้อนกลับขึ้นไป การจะรู้ค่าที่โหนด B ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้า โหนดก่อนหน้าก็ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้าถัดไปอีกเรื่อยๆ จนถึงโหนด A ดังนั้นถ้ามีการบันทึกค่าที่โหนดปัจจุบันไว้จะทำให้โหนดถัดมาใช้ค่าได้เลยไม่ต้องเริ่มใหม่ทำให้หาวิธีเดินทางได้ 20 วิธีดังนี้

ปัญหาที่ 3 ปัญหาการขึ้นบันได

มีบันได n ขั้น มีวิธีการเดินขึ้นบันไดได้กี่แบบ ?

1) พิจารณาจากข้างบนลงมาข้างล่าง (Top down) จะมองได้ง่ายกว่า โดยจากขั้นที่ n จำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดมาขั้นที่ n ต้องรู้รูปแบบการขึ้น 2 ขั้นก่อนหน้า (ขั้นที่ n-1 และ n-2) ถ้าให้ F(n) แทนจำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดขั้นที่ n จะได้ว่า

          F(n) = F(n-1) + F(n-2)

การหาด้วยวิธีการนี้จะรันช้ามากเพราะ F(n) โตแบบ Exponential เช่น อยากรู้ F(7) ต้องหา F(6) และ F(5)

2) พิจารณาจากข้างล่างขึ้นบน (Buttom up)

  ที่ 0 ขั้น เดินได้กี่แบบ
  ที่ 1 ขั้น เดินได้กี่แบบ
  .
  .
  .
  ที่ n ขั้น เดินได้กี่แบบ

การหาด้วยวิธีการนี้จะรันได้เร็วมาก เพราะการหาค่า F(7) ก็นำเอา F(6) + F(5) = F(7) ดังนั้น การหา F(n) จะใช้เวลา O(n) ซึ่งลำดับแบบนี้จะเรียกว่า "ลำดับฟีโบนักชี"

ปัญหาที่ 4 การแบ่งหุ้น

มีใบหุ้น nใบ แต่ละใบมีมูลค่า a₁, a₂, a₃, …, a_n จะจัดแบ่งได้กี่รูปแบบ ?
เช่น ถ้ามีใบหุ้น 10 ใบมูลค่าดังนี้ 1, 4, 2, 1, 3, 4, 7, 10, 16 จัดรูปแบบได้ดังนี้

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47
0	x
1	x	x
4	x	x			x	x
2	x	x	x	x	x	x	x
1	x	x	x	x	x	x	x	x
3	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
4	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
7	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
10	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
16	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x

ถ้ามี a₁, a₂, a₃, …, a_i จะมีวิธีรวมให้ได้มูลค่า x บาทหรือไม่ ให้ B(i,x) แทนจำนวนเงินที่ i รวมได้ x บาท
ถ้าใช้ใบหุ้นที่ a_i จะได้ B(i-1,x)
ถ้าไม่ใช้ใบหุ้นที่ a_i จะได้ B(i-1,x- a_i)
B(i,x) = B(i-1,x) V B(i-1,x- a_i)

ปัญหาที่ 5 การตั้งร้านกาแฟ

ต้องการตั้งร้านขายกาแฟริมถนนให้ได้มูลค่ารวมสูงสุด โดยไม่สามารถตั้งร้านได้ติดกัน 2 ตำแหน่ง

ถ้าสถานที่ตั้งร้านมีมูลค่า b₁, b₂, b₃, …, b_i ตั้งร้านกาแฟได้ตามเงื่อนไขสูงสุดเท่าไร
ให้ V(i) แทนมูลค่าสูงสุดที่ตั้งร้านตำแหน่งที่ i

V(i) = max ${\begin{cases}bi+V(i-3)\\V(i-1)\end{cases}}$
ถ้ามีมูลค่าร้านแต่ละตำแหน่งคือ 10, 10000, 10, 10, 100, 10000, 10, 10, 5000, 7000, 2000, 5000, 10 นำมาเขียนตารางได้ดังนี้

i	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
b	0	0	0	10	10000	10	10	100	10000	10	10	5000	7000	2000	5000	10
				0	10000	10	20	10100	20000	10010	10110	25000	27000	22000	30000	27000
				10	10	10000	10000	10000	10100	20000	20000	20000	25000	27000	27000	30000
V	0	0	0	10	10000	10000	10000	10100	20000	20000	20000	25000	27000	27000	30000	30000

จะได้มูลค่าตั้งร้านรวมสูงสุดคือ 30000 และถ้าต้องการทราบว่าตำแหน่งไหนบ้างที่ต้องเปิดร้านก็เพิ่มการเก็บตำแหน่งไว้

ปัญหาที่ 6 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด (Longest Increasing Subsequence)

มีลำดับ a₁, a₂, a₃, …, a_i ต้องการหาลำดับย่อยที่เพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดที่สิ้นสุดที่ a_i ยาวเท่าไร
ตัวอย่าง 1,2,2,3,4 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดคือ 1,2,3,4 ความยาว 4
ให้ L(i) แทนความยาวของลำดับเพิ่มขึ้นที่สิ้นสุดที่ a_i
จะได้ว่า L(i) = 1 + max(L(j)) เมื่อ j<i และ a_j<a_i

ปัญหาที่ 7 ลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (Longest Common Subsequence)

มี string 2 string ต้องการหา substring ที่ร่วมที่ยาวที่สุด เช่น S = WELCOMEGOOD T = WELOVEFOOD

จะมี substring ที่ยาวที่สุดคือ WELOEOOD ความยาว 8
ให้ A(i,j) เป็นความยาว substring ร่วมที่ยาวที่สุดตำแหน่ง S_i และ T_j
สร้าง recurrence ดังนี้
A(i,j) = max ${\begin{cases}1+A(i-1,j-1);S[i]=T[j]\\A(i-1,j);S[i]=T[j-1]\\A(i,j-1);S[i-1]=T[j]\end{cases}}$

@@ แถว 1: / แถว 1: @@
+จดบันทึกคำบรรยายโดย: <br>
+   นายธนพล พุฒธรรม        5214550103 <br>
+   นายประธาน สมบูรณ์        5214550189 <br>
+   นายพีรพล บุญธกานนท์      5214550197 <br>
+   นายเมธา จึงประเสริฐ        5214550227 <br>
+== '''Dynamic Programming''' ==
+== '''ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน''' ==
+[[ไฟล์:ex1.jpg]]
+'''''จากรูป แต่ละ node มีคะแนนอยู่ ต้องเริ่มจาก start ไปยัง end จะวิ่งทางไหนให้ได้คะแนนรวมสูงสุด ?'''''<br>
+วิธีการพื้นฐานในการหาคำตอบ คือ ลองทุกทาง แล้วหาเส้นทางที่ได้ผลรวมคะแนนมากที่สุด จากความสูง k จะใช้เวลา O(2<sup>k</sup>) ซึ่งใช้เวลาในการหาคำตอบที่นานมาก<br>
+พิจารณาปัญหาแบบ bottom-up ดูจากโหนดที่ 1 -> 2 -> … -> n  ที่โหนด 2 และ โหนด 3 การจะไปที่โหนด 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่า<br>
+พิจารณาปัญหาแบบ top-down ดูจากโหนดที่ n -> (n-1) -> … -> 1  สังเกตโหนดที่ 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่าจาก 2 เส้นทางคือโหนด 2 หรือโหนด 3<br>
+== '''ปัญหาที่ 2 วิธีการเดินทาง''' ==
+[[ไฟล์:ex2.jpg]]
+'''''วิธีเดินทางจากโหนด A ไปยังโหนด B ไปได้กี่วิธี ?'''''<br>
+วิธีที่ง่ายสุดนับทุกเส้นทางจากโหนด A ไปยังโหนด B จากรูปมีเส้นเชื่อมโหนดครบทุกเส้นทำให้สามารถคำนวณได้เลยไม่ต้องนับ จะได้ <math>\binom{8}{5}</math>  หรือ <math>\binom{8}{3}</math> จะได้ 56 วิธี <br>
+[[ไฟล์:ex2_1.jpg]]
+จากรูป ด้านบนถ้าเส้นเชื่อมไม่ครบทุกโหนดการคำนวณทำได้ยาก การจะนับทีละเส้นทางจาก A -> B ใช้เวลานาน ถ้าพิจารณาจากโหนด B ย้อนกลับขึ้นไป การจะรู้ค่าที่โหนด B ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้า โหนดก่อนหน้าก็ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้าถัดไปอีกเรื่อยๆ จนถึงโหนด A ดังนั้นถ้ามีการบันทึกค่าที่โหนดปัจจุบันไว้จะทำให้โหนดถัดมาใช้ค่าได้เลยไม่ต้องเริ่มใหม่ทำให้หาวิธีเดินทางได้ 20 วิธีดังนี้ <br>
+[[ไฟล์:ex2_2.jpg]]
+== '''ปัญหาที่ 3 ปัญหาการขึ้นบันได''' ==
+'''''มีบันได n ขั้น มีวิธีการเดินขึ้นบันไดได้กี่แบบ ?'''''
+) พิจารณาจากข้างบนลงมาข้างล่าง (Top down) จะมองได้ง่ายกว่า โดยจากขั้นที่ n จำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดมาขั้นที่ n ต้องรู้รูปแบบการขึ้น 2 ขั้นก่อนหน้า (ขั้นที่ n-1 และ n-2) ถ้าให้ F(n) แทนจำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดขั้นที่ n จะได้ว่า
+          ''' F(n) = F(n-1) + F(n-2)'''
+การหาด้วยวิธีการนี้จะรันช้ามากเพราะ F(n) โตแบบ Exponential เช่น อยากรู้ F(7) ต้องหา F(6) และ F(5)
+[[ไฟล์:ex3_1.jpg]] [[ไฟล์:ex3_2.jpg]]
+) พิจารณาจากข้างล่างขึ้นบน (Buttom up)
+   ที่ 0 ขั้น เดินได้กี่แบบ
+   ที่ 1 ขั้น เดินได้กี่แบบ
+   .
+   .
+   .
+   ที่ n ขั้น เดินได้กี่แบบ
+[[ไฟล์:ex3_4.jpg]]
+การหาด้วยวิธีการนี้จะรันได้เร็วมาก เพราะการหาค่า F(7) ก็นำเอา F(6) + F(5) = F(7) ดังนั้น การหา F(n) จะใช้เวลา O(n) ซึ่งลำดับแบบนี้จะเรียกว่า "ลำดับฟีโบนักชี"
+== '''ปัญหาที่ 4 การแบ่งหุ้น''' ==
+'''''มีใบหุ้น nใบ แต่ละใบมีมูลค่า a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, …, a<sub>n</sub>  จะจัดแบ่งได้กี่รูปแบบ ?'''''<br>
+เช่น ถ้ามีใบหุ้น 10 ใบมูลค่าดังนี้ 1, 4, 2, 1, 3, 4, 7, 10, 16 จัดรูปแบบได้ดังนี้<br>
+{|border=1
+! || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 || 26 || 27 || 28 || 29 || 30 || 31 || 32 || 33 || 34 || 35 || 36 || 37 || 38 || 39 || 40 || 41 || 42 || 43 || 44 || 45 || 46 || 47
+|-
+| 0 ||x||  ||  || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
+|-
+| 1 || x || x ||  || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
+|-
+| 4 || x || x ||  || ||x ||x || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
+|-
+| 2 || x || x || x ||x || x||x ||x || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
+|-
+| 1 || x || x || x ||x ||x || x|| x||x || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
+|-
+| 3 ||x  ||x  || x ||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
+|-
+| 4 || x || x || x ||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x || x||x ||x || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
+|-
+| 7 || x ||x  || x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x || x|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
+|-
+| 10 || x || x || x || x||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x || x||x ||x ||x || x||x || || || || || || || || || || || || || || || ||
+|-
+| 16 || x || x || x || x||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x || x||x ||x ||x || x||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x ||x ||x
+|}
+ถ้ามี a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, …, a<sub>i</sub> จะมีวิธีรวมให้ได้มูลค่า x บาทหรือไม่
+ให้ B(i,x) แทนจำนวนเงินที่ i รวมได้ x บาท<br>
+ถ้าใช้ใบหุ้นที่ a<sub>i</sub> จะได้ B(i-1,x)<br>
+ถ้าไม่ใช้ใบหุ้นที่ a<sub>i</sub> จะได้ B(i-1,x- a<sub>i</sub>)<br>
+B(i,x)  =  B(i-1,x)  V  B(i-1,x- a<sub>i</sub>)
+== '''ปัญหาที่ 5 การตั้งร้านกาแฟ ''' ==
+ต้องการตั้งร้านขายกาแฟริมถนนให้ได้มูลค่ารวมสูงสุด โดยไม่สามารถตั้งร้านได้ติดกัน 2 ตำแหน่ง <br>
+[[ไฟล์:ex5.jpg]]
+ถ้าสถานที่ตั้งร้านมีมูลค่า  b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>, …, b<sub>i</sub>  ตั้งร้านกาแฟได้ตามเงื่อนไขสูงสุดเท่าไร<br>
+ให้ V(i)  แทนมูลค่าสูงสุดที่ตั้งร้านตำแหน่งที่ i
+V(i) = max
+<math>\begin{cases}
+    bi+V(i-3)    \\
+   V(i-1)
+\end{cases}</math><br>
+ถ้ามีมูลค่าร้านแต่ละตำแหน่งคือ 10, 10000, 10, 10, 100, 10000, 10, 10, 5000, 7000, 2000, 5000, 10 นำมาเขียนตารางได้ดังนี้<br>
+{|border=1
+! i||-2 || -1 || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13
+|-
+| b||0 || 0 || 0 ||  10 || 10000|| 10|| 10|| 100|| 10000|| 10|| 10|| 5000|| 7000|| 2000|| 5000|| 10
+|-
+|  || || || ||  0|| 10000|| 10|| 20|| 10100|| 20000|| 10010|| 10110|| 25000|| 27000|| 22000|| 30000|| 27000
+|-
+|  || ||  ||  || 10 || 10 || 10000 || 10000 || 10000 || 10100 || 20000 || 20000 || 20000 || 25000 || 27000|| 27000 || 30000
+|-
+| V||0 || 0 || 0 || 10|| 10000|| 10000|| 10000|| 10100|| 20000|| 20000|| 20000|| 25000|| 27000|| 27000|| 30000|| 30000
+|}
+<br>
+จะได้มูลค่าตั้งร้านรวมสูงสุดคือ 30000 และถ้าต้องการทราบว่าตำแหน่งไหนบ้างที่ต้องเปิดร้านก็เพิ่มการเก็บตำแหน่งไว้
+== '''ปัญหาที่ 6 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด (Longest Increasing Subsequence)''' ==
+มีลำดับ a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, …, a<sub>i</sub> ต้องการหาลำดับย่อยที่เพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดที่สิ้นสุดที่ a<sub>i</sub> ยาวเท่าไร<br>
+ตัวอย่าง 1,2,2,3,4 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดคือ 1,2,3,4 ความยาว 4 <br>
+ให้ L(i) แทนความยาวของลำดับเพิ่มขึ้นที่สิ้นสุดที่ a<sub>i</sub> <br>
+จะได้ว่า 	L(i)  =  1 + max(L(j)) เมื่อ j<i และ a<sub>j</sub><a<sub>i</sub><br>
+== '''ปัญหาที่ 7 ลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (Longest Common Subsequence)''' ==
+มี string 2 string ต้องการหา substring ที่ร่วมที่ยาวที่สุด เช่น
+	S = WELCOMEGOOD
+	T = WELOVEFOOD
+[[ไฟล์:ex6.jpg]]
+จะมี substring ที่ยาวที่สุดคือ WELOEOOD ความยาว 8<br>
+ให้ A(i,j) เป็นความยาว substring ร่วมที่ยาวที่สุดตำแหน่ง  S<sub>i</sub> และ T<sub>j</sub><br>
+สร้าง recurrence  ดังนี้ <br>
+A(i,j)  =  max
+<math>\begin{cases}
++A(i-1,j-1) ; S[i] = T[j]    \\
+   A(i-1,j)  ; S[i] = T[j-1]\\
+     A(i,j-1)  ;  S[i-1] = T[j]
+\end{cases}</math>

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "204512-53/lecture10"

รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 16:33, 11 ตุลาคม 2553

เนื้อหา

Dynamic Programming

ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน

ปัญหาที่ 2 วิธีการเดินทาง

ปัญหาที่ 3 ปัญหาการขึ้นบันได

ปัญหาที่ 4 การแบ่งหุ้น

ปัญหาที่ 5 การตั้งร้านกาแฟ

ปัญหาที่ 6 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด (Longest Increasing Subsequence)

ปัญหาที่ 7 ลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (Longest Common Subsequence)

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47
0	x
1	x	x
4	x	x			x	x
2	x	x	x	x	x	x	x
1	x	x	x	x	x	x	x	x
3	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
4	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
7	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
10	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
16	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47
0	x
1	x	x
4	x	x			x	x
2	x	x	x	x	x	x	x
1	x	x	x	x	x	x	x	x
3	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
4	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
7	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
10	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
16	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47
0	x
1	x	x
4	x	x			x	x
2	x	x	x	x	x	x	x
1	x	x	x	x	x	x	x	x
3	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
4	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
7	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
10	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
16	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x