ผลต่างระหว่างรุ่นของ "204512/บรรยาย 7"

จาก Theory Wiki
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
(wqaRCOHpEvNiNcogd)
 
(ไม่แสดง 4 รุ่นระหว่างกลางโดยผู้ใช้ 4 คน)
แถว 1: แถว 1:
−
acelolocava
+
Smack-dab what I was loonkig for-ty!
−
coricer
 
−
'''จดบันทึกคำบรรยายโดย:''' <br>
 
−
::นางสาวชฎาทิพย์ สายสิญจน์ 50653740 และ<br>
 
−
::นางสาวภัทราวรรณ รัตนมณี 50653856
 
−
==Network Flows==
 
−
===Flows,Cuts,Augmenting paths===
 
−
 
 
−
หาการไหลของ flow ที่มีขนาดมากที่สุด จะเท่ากับขนาดของ flow
 
−
<br>
 
−
 
 
−
[[ภาพ:N01.PNG]]
 
−
 
 
−
<br>
 
−
ให้กราฟมีทิศทาง <math>G = (V,E)</math><br>
 
−
ฟังก์ชันความจุ cap :<math>VxV \to R^ +</math> และ s,t &isin; V<br>
 
−
ฟังก์ชัน f : <math>VxV \to R</math> จะเรียกว่าเป็น flow <br>
 
−
ถ้า<br>
 
−
i) สำหรับทุกๆคู่ u,v : <math>f(u,v)  \le cap(u,v)</math> [Capacity Constraint]<br>
 
−
 
 
−
ii)สำหรับทุกๆ u,v : <math>f(u,v) = -f(u,v)</math> [Skew Symmetry]<br>
 
−
 
 
−
iii)สำหรับทุกๆ <math>{\rm u } \notin {\rm  \{ s,t\} , }\sum\limits_{{\rm v} \in {\rm V}} {{\rm f(u,v)  =  0}}
 
−
</math> [Flow conservation Constraint]<br>
 
−
 
 
−
<u>ขนาดของ flow f</u> ,|f|, คือ<br>
 
−
<br>
 
−
<math>\sum\limits_{v \in V} {f(s,v)}
 
−
</math><br>
 
−
<br>
 
−
มี Flow s-t
 
−
<br>
 
−
[[ภาพ:N02.PNG]]
 
−
<br>
 
−
จะเรียก <math>(x,\bar x)</math> ว่าเป็น s-t cut ถ้า <math>s \in x,t \in \bar x
 
−
</math> และ <math>\bar x = v - x</math><br>
 
−
 
 
−
สำหรับ cut <math>(x,\bar x)</math>,<math>f(x,\bar x) = \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_{v \in \bar x} {f(u,v)} }</math><br>
 
−
<br>
 
−
 
 
−
'''<u>Lemma</u>''' : สำหรับทุกๆ s-t cut <math>(x,\bar x),f(x,\bar x) = |f|</math><br><br>
 
−
'''<u>Proof</u>'''  : <math>f(x,\bar x) = \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_{v \in \bar x} {f(u,v) = \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_v {f(u,v) - \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_{v \in x} {f(u,v)} } } } } } </math><br>
 
−
 
 
−
:::::= <math>\sum\limits_v {f(s,v) = |f|}</math><br>
 
−
<br>
 
−
flow ที่หน้าตัดใดๆ เท่ากับ Flow ที่ออกจาก soure นั้นๆ<br>
 
−
<br>
 
−
สำหรับ cut <math>(x,\bar x)</math> ใด ๆ ให้ <math>cap(x,\bar x) = \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_{v \in \bar x} {cap(u,v)} }</math><br>
 
−
<br>
 
−
'''<u>Lemma</u>''' : สำหรับ s-t cut <math>(x,\bar x)</math> ใดๆ และ flow f ใดๆ <br>
 
−
::<math>|f| = f(x,\bar{x})\le cap(x,\bar{x})</math><br>
 
−
'''<u>Proof</u>''' : ลองคิดเอง???<br><br>
 
−
 
 
−
'''Ford-Fulkerson'''<br>
 
−
<br>
 
−
[[ภาพ:N03.PNG]]
 
−
<br>
 
−
สำหรับ flow f , capacity บนเส้นเชื่อม (u,v) ใน Residual graph R<sub>f</sub> ของ f เท่ากับ <br>
 
−
::<math>cap(u,v) - f(u,v) \equiv r_f (u,v)</math><br>
 
−
<br>
 
−
ให้ R<sub>f</sub> มีเฉพาะเส้นเชื่อมที่มี capacity เป็นบวก <br>
 
−
flow f เป็น maximum flow ถ้า |f| มากที่สุด<br><br>
 
−
'''<u>Lemma</u>''' : ถ้า f* เป็น maximum flow, f เป็น flow ใดๆ แล้ว <br>
 
−
:::f'=f*-f จะเป็น flow ใน R<sub>f</sub> เมื่อ f'(x,y)=(f*-f)(x,y)=f*(x,y)-f(x,y)<br><br>
 
−
'''<u>Proof</u>''' : check 
 
−
:::capaciy constraint <math>\forall  \cup v,f(u,v) \le cap(u,v)</math><br>
 
−
:::skew symmetry <math>\forall  \cup v,f(u,v) =  - f(u,v)</math><br>
 
−
:::conservation <math>\forall v \notin \{ s,t\} ,\sum\limits_w {f(v,w) = \emptyset }</math><br>
 
−
 
 
−
:ตรวจสอบ capacity constraint พิจารณา (u,v)<br>
 
−
:::<math>f'(u,v) = f^* (u,v) - f(u,v)\le cap(u,v) - f(u,v) = r_f (u,v)</math><br>
 
−
 
 
−
You're a real deep thinker. Thanks for srhinag.
 
−
 
 
−
===Ford-Fulkerson Algorithm===
 
−
'''<u>Ex</u>'''
 
−
<br>
 
−
[[ภาพ:N05.PNG]] n=|v|, m=|E|
 
−
 
 
−
 
 
−
==Running Time==
 
−
- ถ้ากราฟมี n โหนด m edges แต่ละ augmenting step ใช้เวลา O(m)
 
−
:ถ้า <math>c = |f^* |</math>, augment ไม่เกิน c รอบ เพราะแต่ละรอบขนาดของ flow จะเพิ่มขึ้น 1
 
−
::-> FF ทำงานในเวลา O(mC)
 
−
:: *FF ไม่ใช่ Polynomial-time Algorithm
 
−
[[ภาพ:N06.PNG]]
 
−
 
 
−
==Bipartite Matching==
 
−
 
 
−
กราฟ <math>G=(V,E)</math> เป็น bipartite graph ถ้าสามารถแบ่ง V ออกเป็น A&B ที่ <math>A \cap B = \emptyset ,A \cup B = V</math><br>
 
−
และไม่มี <math>edge(u,v) \in E</math> ที่ <math>u \in A,v \in A</math> หรือ <math>u \in B,v \in B</math><br>
 
−
 
 
−
 
 
−
ให้ <math>G=(A \cup B ,E)</math> เป็น bipartite graph <br>
 
−
[[ภาพ:N07.PNG]] 
 
−
 
 
−
 
 
−
ให้กราฟ <math>G = (A \cup B,E)</math> เซต <math>m \le E</math> เป็น '''<u>matching</u>'''(การจับคู่) ถ้าไม่มีโหนดใดๆ G ที่ติดกับ edge ใน m มากกว่า 1 edge<br>
 
−
[[ภาพ:N08.PNG]]
 
−
<br>
 
−
ปัญหา Maximum bipartite matching คือ ปัญหาที่หา matching ใน bipartite graph ที่ขนาดใหญ่ที่สุด
 
−
<br>
 
−
[[ภาพ:N09.PNG]]<math>\  O( m-m )</math>
 
−
 
 
−
'''<u>Edmonds-Karp</u>'''<br>
 
−
- หา shortest augmenting path ('''การบ้าน''')<br>
 
−
::poly(m,n) -> strong poly-time<br>
 
−
- หา augmenting path ที่ augment ได้มากที่สุด<br>
 
−
::poly(m,n,logC) -> weakly poly-time<br>
 
−
<br>
 
−
'''<u>Flow decomposition</u>'''
 
−
::สำหรับ flow f ใดๆ มีวิธี augment ที่ไม่เกิน m ครั้งที่ทำให้ได้ flow ขนาด |f|<br>
 
−
[[ภาพ:N10.PNG]]<br>
 
−
 
 
−
flow ของ |f| ต้องมีอย่างน้อย 1 path ที่มีขนาด <math>\frac{{|f|}}{{m}}</math><br>
 
−
[[ภาพ:N11.PNG]]<br>
 
−
 
 
−
<math>f^*</math> maximum flow<br>
 
−
f -> <math>R_f</math> ที่มี maximum flow ขนาด <math>|f^* | - |f|</math>, path ที่ augment มีขนาด <math>\ge \frac{{|f^* | - |f|}}{{2m}}</math><br>
 
−
m คือ edge ขณะนั้น<br>
 
−
<br>
 
−
พิจารณาลำดับการ augment 2m รอบติดกัน -> ได้ flow เป็น f <br>
 
−
:<u>case 1</u> : <math>|f^* | - |f'| \le \frac{1}{2}(|f^* | - |f|)</math>
 
−
:<u>case 2</u> : <math>|f^* | - |f'| \ge \frac{1}{2}(|f^* | - |f|)</math>
 
−
::นั่นคือ ในทุกๆ การ augment จะ augment ได้ <math>\frac{1}{2}(\frac{{|f^* | - |f|}}{{2m}})</math>
 
−
<br>
 
−
อย่างไรก็ตาม augment ไป 2m รอบ<br>
 
−
ขนาดของ flow ทั้งหมดที่ augment <math>2m \bullet \frac{1}{2}(\frac{{|f^* | - |f|}}{{2m}})</math><br>
 
−
::นั่นคือ มี flow เหลือ <math>\le (|f^* | - |f|) - \frac{1}{2}(|f^* | - |f|) = \frac{1}{2}(|f^* | - |f|)</math> ซึ่งเป็น contradiction<br>
 
−
<math>\Rightarrow</math>ทุกๆ 2m augmentation, flow ใน residual graph ลดลงอย่างน้อยครึ่งหนึ่ง<br>
 
−
->  augment ไม่เกิน O(mlogC)รอบ<br>
 

รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 03:53, 1 ตุลาคม 2554

Smack-dab what I was loonkig for-ty!

ดึงข้อมูลจาก "http://158.108.32.49/wiki/index.php?title=204512/บรรยาย_7&oldid=11556"