|
|
| (ไม่แสดง 40 รุ่นระหว่างกลางโดยผู้ใช้ 13 คน) |
| แถว 1: |
แถว 1: |
| − | ==Network Flows==
| + | Smack-dab what I was loonkig for-ty! |
| − | | |
| − | หาการไหลของ flow ที่มีขนาดมากที่สุด จะเท่ากับขนาดของ flow
| |
| − | <br>
| |
| − | | |
| − | [[ภาพ:N01.PNG]]
| |
| − | | |
| − | <br>
| |
| − | ให้กราฟมีทิศทาง <math>G = (V,E)</math><br>
| |
| − | ฟังก์ชันความจุ cap :<math>VxV \to R^ +</math> และ s,t ∈ V<br>
| |
| − | ฟังก์ชัน f : <math>VxV \to R</math> จะเรียกว่าเป็น flow <br>
| |
| − | ถ้า<br>
| |
| − | i) สำหรับทุกๆคู่ u,v : <math>f(u,v) \le cap(u,v)</math> [Capacity Constraint]<br>
| |
| − | | |
| − | ii)สำหรับทุกๆ u,v : <math>f(u,v) = -f(u,v)</math> [Skew Symmetry]<br>
| |
| − | | |
| − | iii)สำหรับทุกๆ <math>{\rm u } \notin {\rm \{ s,t\} , }\sum\limits_{{\rm v} \in {\rm V}} {{\rm f(u,v) = 0}}
| |
| − | </math> [Flow conservation Constraint]<br>
| |
| − | | |
| − | <u>ขนาดของ flow f</u> ,|f|, คือ<br>
| |
| − | <br>
| |
| − | <math>\sum\limits_{v \in V} {f(s,v)}
| |
| − | </math><br>
| |
| − | <br>
| |
| − | มี Flow s-t
| |
| − | <br>
| |
| − | [[ภาพ:N02.PNG]]
| |
| − | <br>
| |
| − | จะเรียก <math>(x,\bar x)</math> ว่าเป็น s-t cut ถ้า <math>s \in x,t \in \bar x
| |
| − | </math> และ <math>\bar x = v - x</math><br>
| |
| − | | |
| − | สำหรับ cut <math>(x,\bar x)</math>,<math>f(x,\bar x) = \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_{v \in \bar x} {f(u,v)} }</math><br>
| |
| − | <br>
| |
| − | | |
| − | '''<u>Lemma</u>''' : สำหรับทุกๆ s-t cut <math>(x,\bar x),f(x,\bar x) = |f|</math><br><br>
| |
| − | '''<u>Proof</u>''' : <math>f(x,\bar x) = \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_{v \in \bar x} {f(u,v) = \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_v {f(u,v) - \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_{v \in x} {f(u,v)} } } } } } </math><br>
| |
| − | | |
| − | :::::= <math>\sum\limits_v {f(s,v) = |f|}</math><br>
| |
| − | <br>
| |
| − | flow ที่หน้าตัดใดๆ เท่ากับ Flow ที่ออกจาก soure นั้นๆ<br>
| |
| − | <br>
| |
| − | สำหรับ cut <math>(x,\bar x)</math> ใด ๆ ให้ <math>cap(x,\bar x) = \sum\limits_{u \in x} {\sum\limits_{v \in \bar x} {cap(u,v)} }</math><br>
| |
| − | <br>
| |
| − | '''<u>Lemma</u>''' : สำหรับ s-t cut <math>(x,\bar x)</math> ใดๆ และ flow f ใดๆ <br>
| |
| − | ::<math>|f| = f(x,\bar{x})\le cap(x,\bar{x})</math><br>
| |
| − | '''<u>Proof</u>''' : ลองคิดเอง???<br><br>
| |
| − | สำหรับ flow f , capacity บนเส้นเชื่อม (u,v) ใน Residual graph R<sub>f</sub> ของ f เท่ากับ <br>
| |
| − | ::<math>cap(u,v) - f(u,v) \equiv r_f (u,v)</math><br>
| |
| − | <br>
| |
| − | ให้ R<sub>f</sub> มีเฉพาะเส้นเชื่อมที่มี capacity เป็นบวก <br>
| |
| − | flow f เป็น maximum flow ถ้า |f| มากที่สุด<br><br>
| |
| − | '''<u>Lemma</u>''' : ถ้า f* เป็น maximum flow, f เป็น flow ใดๆ แล้ว <br>
| |
| − | :::f'=f*-f จะเป็น flow ใน R<sub>f</sub> เมื่อ f'(x,y)=(f*-f)(x,y)=f*(x,y)-f(x,y)<br><br>
| |
| − | '''<u>Proof</u>''' : check
| |
| − | :::capaciy constraint <math>\forall \cup v,f(u,v) \le cap(u,v)</math><br>
| |
| − | :::skew symmetry <math>\forall \cup v,f(u,v) = - f(u,v)</math><br>
| |
| − | :::conservation <math>\forall v \notin \{ s,t\} ,\sum\limits_w {f(v,w) = \emptyset }</math><br>
| |
| − | | |
| − | :ตรวจสอบ capacity constraint พิจารณา (u,v)<br>
| |
| − | :::<math>f'(u,v) = f^* (u,v) - f(u,v)\le cap(u,v) - f(u,v) = r_f (u,v)</math><br>
| |
| − | | |
| − | ===Flow Augmenting Step===
| |
| − | | |
| − | เรียก path ใน R<sub>f</sub> จาก s ไป t ว่าเป็น augmenting path <br>
| |
| − | :1. <math>f \leftarrow \emptyset</math>
| |
| − | :2. คำนวณ R<sub>f</sub>
| |
| − | :3. หา augmenting path P ∈ R<sub>f</sub>
| |
| − | :4. ถ้าหาไม่ได้ จบ
| |
| − | :5. ให้ <math>C = \min _{e \in P} r_f (e)</math>
| |
| − | :6. ปรับค่า f ด้วย flow บน path p ที่มีขนาด C
| |
| − | :7. กลับไป step2
| |
| − | <br>
| |
| − | | |
| − | '''<u>Theorem</u>''' : ถ้า FF จบ, จะมี s-t cut <math>(x,\bar x)</math> ที่ <math>|f| = cap(x,\bar x)</math> นั่นคือ f เป็น maximum flow<br>
| |
| − | <br>
| |
| − | '''<u>Proof</u>''' : ถ้ามี cut ดังกล่าว f เป็น maximum flow <br>
| |
| − | พิจารณา <math>R_f</math> เนื่องจาก FF terminate ไม่มี path จาก s ไป t ใน <math>R_f</math><br>
| |
| − | :<math>x = \{ v \in V|</math> มี path จาก s ไป v ใน <math>R_f \}</math> จะได้ว่า <math>x \notin t</math><br>
| |
| − | <br>
| |
| − | :1. จะแสดงว่า f(u,v)=0 สำหรับทุกๆ
| |
