01204472/การทดลองการคำนวณจำนวนจริง

หน้านี้เป็นรายละเอียดการทดลองเกี่ยวกับข้อจำกัดในการคำนวณด้วยจำนวนจริงบนคอมพิวเตอร์ ประกอบการเรียนวิชา 01204472

ขอบเขตของตัวเลข

1.1 ทดลองหาค่าต่ำสุดที่จำนวนจริงในภาษาที่ใช้สามารถเก็บได้ (ที่มากกว่า 0)

1.2 เนื่องจากรูปแบบในการเก็บจำนวนจริงจะเก็บหลักและเลขนัยสำคัญ ให้เขียนโปรแกรมเพื่อหาจำนวนหลักของเลขนัยสำคัญ (hint: สามารถปรับแก้จากโปรแกรมในข้อ 1.1 ได้ไม่ยากนัก)

1.3 จากคำตอบในข้อ 1.1 และ 1.2 ลองเทียบตารางในมาตรฐาน IEEE 754 ว่าการเก็บข้อมูลจำนวนจริงของภาษาที่ใช้เก็บด้วยรูปแบบใด

ทดลองประมาณค่า

ในการเรียนครั้งก่อนเราเห็นตัวอย่างของการทราบ derivative ของฟังก์ชันที่ต้องการหาค่าต่ำสุด อย่างไรก็ตาม ถ้าเราสามารถทำได้แค่คำนวณค่าฟังก์ชัน แต่เราต้องการใช้งานค่า derivative ที่จุดต่าง ๆ เราจะทำอย่างไร?

ให้ฟังก์ชัน $f$ และจำนวนจริง $x$ เราต้องการประมาณค่า $f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)$

เราจะพิจารณาการประมาณค่าสองแบบ โดยทั้งคู่จะมีพารามิเตอร์ $h$ แทนความละเอียด

• แบบที่ 1 ประมาณด้วย $g_{1}(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
• แบบที่ 2 ประมาณด้วย $g_{2}(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}$

ในการทดลองสำหรับแต่ละฟังก์ชันต่อไปนี้ ให้วาดกราฟเปรียบเทียบความผิดพลาดของการประมาณแบบที่ 1 และแบบที่ 2 โดยให้เปลี่ยนตามค่า $k=1/h$ โดยมากให้ k มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง 500 ก็น่าจะเห็นความแตกต่าง

หมายเหตุ 1: ในการสร้างตัวแปร k อย่าลืมว่าต้องให้มีค่าเป็นจำนวนจริง โดยสั่ง k = arange(1.,500.,1) จากนั้นลองสั่ง 1/k เพื่อดูอาร์เรย์ของค่า $h$ ที่ได้

หมายเหตุ 2: ใน pylab เมื่อต้องการลบกราฟ สั่ง clf()

2.1 ให้ $f(x)=x^{2}$ ให้ประมาณค่าของ $f'(x)=2x$ ที่ $x=1$ (สำหรับข้อนี้ คำตอบที่ถูกต้องคืออะไร?)

2.2 ให้ $f(x)=\sin x$ ให้ประมาณค่าของ $f'(x)$ ที่ $x=0$ (สำหรับข้อนี้ คำตอบที่ถูกต้องคืออะไร?)

2.3 ให้ $f(x)=\sin x$ ให้ประมาณค่าของ $f'(x)$ ที่ $x=\pi /4$ (สำหรับข้อนี้ คำตอบที่ถูกต้องคืออะไร?) สังเกตว่าเราคิดมุมเป็นหน่วยเรเดียล

2.4 ให้ $f(x)=e^{x}$ ให้ประมาณค่าของ $f'(x)=e^{x}$ ที่ $x=1$ (สำหรับข้อนี้คำตอบที่ถูกต้องคืออะไร?)

ความละเอียดกับการประมาณค่า

2.5 (a) ใช้การประมาณค่าแบบที่ 2 กับฟังก์ชันจากข้อ 2.4 ให้ใช้ค่า k ระหว่าง 5000 ถึง 10000 (โดยอาจจะเพิ่มค่าทีละ 100) จากนั้นเขียนกราฟแสดง error

2.5 (b) ทำตามข้อ 2.5(a) แต่ให้ใช้ค่า k ระหว่าง 10000 ถึง 20000 ให้วาดกราฟในอีกรูปหนึ่งแยกกัน จากนั้นให้เปรียบเทียบลักษณะของกราฟทั้งสองเพื่อให้เห็นลักษณะการเปลี่ยนแปลงของค่า error

หมายเหตุ เราจะสร้างรูปกราฟ (figure) ใหม่โดยสั่ง figure() เมื่อสั่งแล้ว figure ปัจจุบันจะย้ายไปอีกรูปกราฟหนึ่ง

2.6 ใช้การประมาณค่าแบบที่ 2 กับฟังก์ชันจากข้อ 2.4 ให้เพิ่มค่า $k$ ขึ้นเรื่อย (นั่นคือการเพิ่มความละเอียด) จากนั้นให้หาขอบเขตที่การเพิ่มค่า $k$ ทำให้เราสังเกตเห็น error ที่ไม่ได้เกิดจากอัลกอริทึม (error ถ้าพิจารณาจากกราฟ ให้อธิบายว่าส่วนใดคือ error ที่เกิดจากอัลกอริทึมที่ใช้ประมาณ อะไรไม่ใช่)

2.7 ใช้การประมาณค่าแบบที่ 2 กับฟังก์ชันจากข้อ 2.2 ให้เพิ่มค่า $k$ ขึ้นเรื่อย (นั่นคือการเพิ่มความละเอียด) จากนั้นให้หาขอบเขตที่การเพิ่มค่า $k$ ทำให้เราสังเกตเห็น error ที่ไม่ได้เกิดจากอัลกอริทึม (error ถ้าพิจารณาจากกราฟ ให้อธิบายว่าส่วนใดคือ error ที่เกิดจากอัลกอริทึมที่ใช้ประมาณ อะไรไม่ใช่)

2.8 เปรียบเทียบขอบเขตที่ได้ในข้อ 2.5 และ 2.6

Gaussian Elimination

หมายเหตุ: ตัวอย่างนำจากสไล์ดบทที่ 7 จาก [1]

สมมติให้ $k$ เป็นค่าคงที่ พิจารณาระบบสมการต่อไปนี้

$10^{-k}\cdot x_{1}+x_{2}=1$

$x_{1}+x_{2}=0$

3.1 ให้แก้ระบบสมการนี้ด้วยมือ และหาค่าของ $x_{1}$ และ $x_{2}$

เมื่อเขียนอยู่ในรูปของเมตริกซ์ ระบบดังกล่าวเขียนได้เป็น

$\left[{\begin{array}{cc}10^{-k}&1\\1&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right]$

3.2 ในข้อนี้เราจะทดลองโดยปรับค่า $k$ ตั้งแต่ 1 และเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ

เปรียบเทียบการแก้ระบบสมการด้วย gaussian elimination โดยพิจารณาการแก้สองแบบดังนี้

• แก้จากเมตริกซ์ดังกล่าวโดยตรง
• ให้สลับแถวแรก กับแถวที่สองก่อน จากนั้นจึงค่อยแก้ด้วย gaussian elimination

ให้เปรียบเทียบผลที่ได้จากการแก้ระบบสมการด้วย gaussian elimination ทั้งสองแบบ และค่าที่คำนวณโดยใช้สูตรโดยตรงจากคำตอบที่ได้จากข้อ 3.1

ให้ทดลองปรับค่า k และพิจารณาหลักของคำตอบที่เกิดความคลาดเคลื่อนที่มาจากลำดับของการทำ gaussian elimination

ลองพยายามอธิบายว่าทำไมการสลับแถวจึงมีผลทำให้ความคลาดเคลื่อนเพิ่มหรือลดลง