01204472/การทดลองเกี่ยวกับ SVD

ในการทดลองวันนี้เราจะ plot กราฟเป็นจำนวนมาก โดยปกติเมื่อเราสั่ง plot กราฟที่ได้จะทับกับรูปเดิม ถ้าเราต้องการสร้าง figure ใหม่ (เพื่อเก็บรูปเดิมไว้) ให้สั่ง

figure()

ทดลองเกี่ยวกับ eigenvectors

ก่อนอื่นเราจะสร้างรายการของจุดบนวงกลมรัศมี 1 หน่วย

ang = arange(0,2.*pi,pi/10.)
x = [cos(a) for a in ang]
y = [sin(a) for a in ang]

plot(x,y,'o')

สร้างรายการของเวกเตอร์จากลิสต์ x และ y

vs = [matrix([[xx],[yy]]) for xx,yy in zip(x,y)]

จากนั้นให้สร้างเมตริกซ์ M ขนาด 2x2 ขึ้นมา สำหรับเวกเตอร์ v แต่ละเวกเตอร์ใน vs ให้หา Mv และรวมเป็นรายการ mvs

ให้นำจุดเหล่านั้นในลิสต์ mvs มา plot ที่เดียวกับจุดจากรายการ vs ที่เรา plot ตอนแรก ดังตัวอย่างด้านล่าง (รูปอาจจะไม่เหมือน ขึ้นกับเมตริกซ์ M)

ให้หา eigenvector ของ M ด้วยฟังก์ชัน eig เวกเตอร์ดังกล่าวอธิบายอะไรเกี่ยวกับรูปด้านบน

ให้ลองคูณ M เข้ากับ eigenvector ที่ได้ทั้งสอง

ให้ plot eigenvector ทั้งสองลงบนกราฟ (สังเกตว่าเวกเตอร์ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน)

เมตริกซ์ที่มี Low rank

เราจะทดลองสร้างเมตริกซ์ที่มี rank ต่ำ

สร้างเวกเตอร์ X

X = matrix([ [sin(a) for a in arange(0,4*pi,pi/50)] ]).T

และเวกเตอร์ Y

Y = matrix([ [cos(a) for a in arange(0,4*pi,pi/50)] ]).T

สร้างเมตริกซ์ M โดยให้เท่ากับ X Y^T

M = X * Y.T

จากให้แสดงเมตริกซ์ดังกล่าวด้วยคำสั่ง

imshow(M)

Rank ของเมตริกซ์ M มีค่าเท่ากับเท่าใด?

ทดลองคำนวณ rank ของ M ด้วยคำสั่ง matrix_rank(M) (อย่าสับสนกับฟังก์ชัน rank) ทำไมผลลัพธ์ที่ได้ไม่ตรงกับที่เราคาดการณ์ไว้?

ให้คำนวณหา singular value decomposition ของ M โดยสั่ง

u,s,v = svd(M)

ให้พิจารณาค่าใน s ค่าดังกล่าวเกี่ยวข้องอะไรกับ rank ของ M?

พิจารณาเมตริกซ์ u, ทดลองสั่ง plot คอลัมน์แรกของ u

plot(u[:,0])

พิจารณาเมตริกซ์ v, ทดลองสั่ง plot แถวแรกของ v

plot(v[0,:].T)

การประมาณเมตริกซ์ ด้วย Low rank เมตริกซ์

เราจะสร้างเมตริกซ์ N ที่เป็น noise ขนาด 0.01

N = matrix([[uniform()/100. for i in range(200)] for j in range(200)])

จากเมตริกซ์ M ในตัวอย่างที่แล้ว ให้สร้าง

MM = M + N

ทดลอง plot

imshow(MM)

สังเกตว่า MM มีลักษณะใกล้เคียงกับ M มาก ทดลองหา rank โดยสั่ง

matrix_rank(MM)

ค่าดังกล่าวบอกอะไรกับเรา? เมตริกซ์ M กับ MM ต่างกันอย่างไร?

decompose MM ด้วย SVD

a,b,c = svd(MM)

พิจารณาเวกเตอร์ b, คอลัมน์แรกของ a, แถวแรกของ c (ทดลอง plot ค่าดู)

เราจะสร้างเมตริกซ์ MMM ที่ approximate MM ที่มี rank = 1 ได้อย่างไร?

ทดลองสร้าง MMM แล้ว plot ผลลัพธ์ด้วย imshow

ทดลองโดยการเพิ่ม noise

ทดลองซ้ำ โดยเพิ่ม noise ให้มากขึ้นเป็นระดับ 1 หน่วย โดยสั่ง

N = matrix([[uniform() for i in range(200)] for j in range(200)])

ให้

MM = M + N

จากนั้นคำนวณ

a,b,c = svd(MM)

พิจารณาค่าในเวกเตอร์ b เวกเตอร์ b ที่ได้ ต่างจากกรณีที่หาเมื่อระดับของ noise ต่ำ ๆ อย่างไร?

สร้างเมตริกซ์ที่ approximate MM ที่มี rank = 1 สังเกตผลโดยสั่ง imshow

ผลลัพธ์ที่ได้ใกล้เคียงกับ M หรือไม่ อย่างไร?

สร้างเมตริกซ์ที่ approximate MM ที่มี rank = 2 สังเกตผลโดยสั่ง imshow

สร้างเมตริกซ์ที่ approximate MM ที่มี rank = 3 สังเกตผลโดยสั่ง imshow

หมายเหตุ: การสร้าง matrix ที่ approximate MM ข้าง ต้นสามารถสั่งได้ด้วยคำสั่งเดียว

Collaborative filtering

• Collborative Filtering Resources
• A guide to SVD for collaborative filtering