Ipsc2012

หน้านี้รวมคำแปลโจทย์จากการแข่งขัน Internet Problem Solving Contest ปี 2012

Problem E – Evil matching

ต้นฉบับและข้อมูลนำเข้า: [1]

หน้ารวมโจทย์ทั้งหมด: [2]

ให้ลำดับของจำนวนเต็มบวก T = t₁,t₂,…,t_n (text) และ P = p₁,p₂,…,p_m (pattern). นิยามคลาสสิกของการจับคู่ก็คือ เราจะบอกว่า P นั้น match กับ T ที่ตำแหน่ง k ถ้า p₁ = t_k, p₂ = t_k+1, …, และ p_m = t_k+m−1. เราสามารถหาตำแหน่งที่ P match กับ T ได้ โดยอาจจะใช้อัลกอริทึมเช่น Knuth-Morris-Pratt algorithm.

เพื่อลดความน่าเบื่อจากอะไรง่าย ๆ เราจะนิยามอะไรให้ยากขึ้นสักหน่อย เราจะกล่าวว่า P evil-match กับ T ที่ตำแหน่ง k ถ้ามีลำดับของดัชนี k = a₀ < a₁ < ⋯ < a_m ที่

• t_a0 + t_a0+1 + ⋯ + t_a1−1 = p₁
• t_a1 + t_a1+1 + ⋯ + t_a2−1 = p₂
• ...
• t_am−1 + t_am−1+1 + ⋯ + t_am−1 = p_m

นั่นคือ เราสามารถที่จะรวมข้อมูลใน text เป็นกลุ่ม ๆ เข้าด้วยกันก่อนที่จะไปจับคู่กับ pattern ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเรามี T = 1,2,1,1,3,2 และ P = 3,2, เราจะมีสอง evil-matches: อันแรกที่ตำแหน่ง k = 1 (with a1 = 3,a2 = 5), อันที่สองที่ k = 5 (with a1 = 6,a2 = 7).

ค่า evil compatibility ของ text T กับ pattern P คือจำนวนของตำแหน่ง k ที่แตกต่างกันที่ P evil-match กัย T ที่ตำแหน่ง k

โจทย์

ให้ text T และ pattern สองลำดับ P1, P2 คำนวณ

• ค่า evil compatibility ของ T กับ P1
• ค่า evil compatibility ของ T กับ P2
• จำนวนเต็มบวก n ที่น้อบที่สุดที่ทำให้ค่า evil compatibility ของ T กับ P1 ⋅ n ⋅ P2 มีค่ามากที่สุด (เมื่อเครื่องหมาย ⋅ แทนการต่อกันของลำดับ)
• ค่า evil compatibility ของ T กับ P1 ⋅ n ⋅ P2 สำหรับค่า n นั้น

Problem F – Fair coin toss

ต้นฉบับและข้อมูลนำเข้า: [3]

หน้ารวมโจทย์ทั้งหมด: [4]

Lolek and Bolek กำลังฝึกหัดที่จะเป็นนักมายากล ในชั่วโมงที่ผ่านมา พวกเขามัวแต่เถียงกันว่าใครจะออกไปเอาขยะไปทิ้ง ทางออกของปัญหานี้ก็คือการโยนเหรียญที่เที่ยงตรง แต่แน่นอนว่าเราไม่ควรจะเชื่อนักมายากลเวลาที่ต้องโยนเหรียญใช่มั้ย?

หลังจากที่ค้นดูในกระเป๋า พวกเขาพบเหรียญ n เหรียญ ทุก ๆ เหรียญมีหน้าหนึ่งเขียนว่า 1 อีกหน้าเขียนว่า 0 สำหรับเหรียญที่ i พวกเขาทราบความน่าจะเป็น p_i ที่เหรียญจะแสดงด้าน 1 เมื่อโยน

แน่นอนว่าการมีเหรียญอย่างเดียวไม่ช่วยให้แก้ปัญหาได้ พวกเขายังต้องหาวิธีการที่เที่ยงตรงในการตัดสินปัญหา Lolek ได้แนะนำดังนี้ ให้เอาเหรียญทุกเหรียญที่มีมาโยนแล้วให้ xor ผลลัพธ์เข้าด้วยกัน กล่าวคือ พวกเขาจะพิจารณาเฉพาะ parity ของ 1 ในผลลัพธ์เท่านั้น ถ้ามีจำนวน 1 เป็นเลขคู่จะเป็นตาของ Bolek ที่จะไปทิ้งขยะ ถ้าไม่ใช่ ก็จะเป็นตาของ Lolek

และพวกเขาก็มาทะเลาะกันอีกรอบ ว่าวิธีนี้มันเที่ยงตรงอย่างไร

โจทย์

เซตของเหรียบจะเรียกว่าเที่ยงตรง ถ้าวิธีการของ Lolek นั้นเที่ยงตรง นั้นคือ ความน่าจะเป็นที่ Bolek จะต้องออกไปทิ้งขยะมีค่าเท่ากับ 50% พอดี

คุณจะได้รับข้อมูลของเหรียญที่ Lolek และ Bolek มี

• สำหรับปัญหาง่าย F1, ให้คุณหาว่าเหรียญเหล่านี้มีสับเซตที่เที่ยงตรงหรือไม่
• สำหรับปัญหายาก F2, ให้หาว่ามีสับเซตกี่สับเซตที่เที่ยงตรง

Problem G – Gems in the maze

ต้นฉบับและข้อมูลนำเข้า: [5]

หน้ารวมโจทย์ทั้งหมด: [6]

Scrooge McDuck มีแผนที่จะเพิ่มความมั่งคั่งให้กับตนเอง เขาค้นพบถ้ำมหาสมบัติที่ประกอบด้วยห้องในนั้น n ห้อง ห้องมีหมายเลข 0 ถึง n-1 แต่ละห้องมีอัญมนีหนึ่งชิ้น ห้องเชื่อมต่อกันด้วยทางเดิดที่เดินได้ทางเดียว แต่ละห้องจะมีทางเดินออกจากห้องสองทาง ทางหนึ่งพาไปยังห้องหมายเลข (a ⋅ v² + b ⋅ v + c) mod n สำหรับห้องหมายเลข v (ค่าของ a,b, และ c จะระบุในข้อมูลป้อนเข้า) และอีกทางจะพาคุณออกไปนอกถ้ำมหาสมบัตินี้

คุณสามารถเริ่มในถ้ำที่ตำแหน่งใดก็ได้ จากนั้นจะสามารถเดินไปมาตามทางเดินเพื่อเก็บอัญมนี แต่เมื่อคุณออกจากถ้ำแล้ว คุณจะไปทำให้ถ้ำระเบิดและทุกอย่างที่คุณยังไม่ได้เก็บไปก็จะหายไปหมด

Scrooge ต้องการทราบจำนวนอัญมนีที่มากที่สุดที่เขาเอาออกมาจากถ้ำมหาสมบัติได้

Problem H – Harvesting potatoes

ต้นฉบับและข้อมูลนำเข้า: [7]

หน้ารวมโจทย์ทั้งหมด: [8]

มีไร่ที่แบ่งเป็นตารางจัสตุรัส r × c ช่อง

มีมันขึ้นอยู่ในทุกช่องของไร่นี้ คุณมีเครื่องเก็บมันและคุณต้องการเก็บมันทั้งหมด เครื่องเก็บมันเป็นรถขนาดใหญ่ที่ติดเครื่องตักและอุปกรณ์ที่จำเป็นในการขุดมันออกมาจากดิน คนขับมีปุ่มกดที่ใช้เปิดหรือปิดที่ขุดดินนี้

เครื่องเก็บมันทำงานเป็นรอบ แต่ละรอบจะเดินทางในแถวเดียวหรือคอลัมน์เดียว โดยเริ่มจากขอบด้านหนึ่งและขับตรงไปจนทะลุขอบอีกด้านหนึ่ง ความจุของเครื่องเก็บมันนั้นมีจำกัด ในแต่ละรอบจะสามารถเก็บมันได้ไม่เกิน d ช่อง ซึ่งจะเป็นมันจากช่องใดก็ได้ที่คุณขับรถผ่าน ในข้อนี้เป้าหมายคือการออกแบบวิธีการเก็บมันที่ทำให้มีรอบการเก็บน้อยที่สุด

ในทางปฏิบัตินอกจากรอบของการเก็บมันแล้ว ยังมีปัจจัยอีกอย่างหนึ่ง กล่าวคือ คนขับรถเก็บมันนั้นไม่ถนัดที่จะดำเนินการตามขั้นตอนที่ยาก การเก็บมันในช่วงที่ต่อเนื่องกันนั้นง่ายกว่าการเก็บโดยการเปิดที่ขุดแล้วก็ปิดและเปิดที่ขุดใหม่ไปมาในตำแหน่งที่ถูกต้อง ความยากของการเก็บแต่ละรอบจะมีค่าเท่ากับสองเท่าของจำนวนช่องที่ติดกันที่ต้องเก็บเกี่ยวในรอบนั้น (หมายเหตุ คนขับรถจะต้องเก็บเกี่ยวในแต่ละช่องแค่ครั้งเดียวเท่านั้น และไม่อนุญาตให้เปิดที่ขุดไว้ตลอดเวลา หรือเปิดไว้ในช่องที่เก็บเกี่ยวไปแล้วเนื่องจากจะเป็นการทำลายดินในช่องนั้น)

ความยากของแผนการเก็บจะเท่ากับความยากของรอบที่มีค่าความยากมากที่สุด (นั้นคือค่ามากที่สุดของค่าความยากของแต่ละรอบ)

โจทย์

คุณจะได้รับขนาด r และ c และความจุ d สำหรับข้อมูลชุดทดสอบง่าย H1 เป้าหมายคือการสร้างแผนการเก็บเกี่ยวที่มีจำนวนรอบน้อยที่สุด สำหรับชุดข้อมูลทดสอบยาก H2 งานของคุณคือหาแผนการเก็บเกี่ยวที่ใช้จำนวนรอบน้อยที่สุดและมีค่าความยากน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้