ผลต่างระหว่างรุ่นของ "VC-SNDP:spider decomposition"

รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 17:18, 27 กุมภาพันธ์ 2552

This page describes spider decompositions and the approach of Chuzhoy Khanna and Chekuri and Korula in tackling the single-source k sndp.

ให้กราฟ $G=(V,E)$ เซตของ terminals T และจำนวนเต็มบวก $k$ เรียกโหนดใน T ว่าเป็น black vertices, นอกจากนั้นเป็น white vertices.

Spider คือ tree ที่มีโหนดที่มีดีกรีมากกว่าสองไม่เกิน 1 จุดยอด ถ้ามี vertex ดังกล่าว จะเรียกว่าเป็น head ถ้าไม่มี spider จะเป็น path และจะสามารถเรียกโหนดใดเป็น head ก็ได้; เรียกจุดยอดที่ไม่ใช่ leaf และ head ว่า intermediate vertex, เรียก leaf ว่า foot, เรียก path จาก head ไป leaf ว่า leg

เนื้อหา

1 ภาพรวม (ตาม Chekuri-Korula)
2 Decomposition
3 Approximating SS-k-VC-SNDP
- 3.1 ความถูกต้อง
- 3.2 ค่าใช้จ่าย
4 Reduction lemma
- 4.1 Proof of the spider decomposition with the reduction lemma

ภาพรวม (ตาม Chekuri-Korula)

อัลกอริทึมใช้ greedy augmentation บนลำดับแบบสุ่มของ terminal
cost พิสูจน์ด้วย Theorem 4.2 ที่แสดงว่า cost ในการทำ augmentation จากทุกโหนด ไม่เกิน $8k\cdot OPT$ (ดูด้านล่าง)
key lemma คือ Lemma 4.3 ที่แสดงว่ามีจากทุก ๆ terminal มี set ของ internal vertex disjoint path ไปยัง terminal อื่น ๆ ที่ cost รวมไม่เกิน 2 เท่าของ opt, lemma นี้พิสูจน์ได้โดยแสดงว่ามี spider decomposition
spider decomposition พิสูจน์ด้วย Reduction Lemma

ข้อสังเกต: จาก Lemma 4.3 มา Theorem 4.2 เสียไป $k$

Decomposition

Chuzhoy และ Khanna ได้ใช้ spider decomposition ในการพิสูจน์ approximation algorithm สำหรับ ss-k-sndp อย่างไรก็ตามในที่นี้เราจะใช้ decomposition ที่ weak กว่าของ Chekuri และ Korula

Chekuri-Korula [Theorem 4.4] แสดงว่า ให้กราฟ G ที่ทุก ๆ คู่ของจุดยอดสีดำ k-element connected, มีสับกราฟ H ของ G ที่สามารถ partition เป็น spiders ที่

ทุก ๆ leaf เป็น black vertex และ ทุก ๆ intermediate vertex เป็น white vertex (สังเกตว่า head เป็น black vertex ได้)
ทุก ๆ black vertex เป็น foot ของ k spiders พอดี, และ ทุก ๆ white vertex อยู่ใน 1 spider เท่านั้น
สำหรับกรณีที่ spider มี white vertex เป็น head จะต้องมี leg อย่างน้อย 2 legs

ด้านล่างแสดงตัวอย่างของ spiders

spider decomposition กับ set ของ paths

พิจารณา spider แต่ละตัว เราจะพบว่าเราสามารถหาเซตของ path จากแต่ละ foot หนึ่ง ๆ ไปยังอีก foot ใด ๆ ได้ โดยที่ค่าใช้จ่ายรวมไม่เกิน 2 เท่าของ cost ของ spider (ดูรูป)

ดังนั้น ถ้าเรามี spider decomposition เราจะได้ว่าเราสามารถหา, สำหรับทุก ๆ terminal $t$ , set of $k$ internally vertex disjoint paths ${\mathcal {P}}_{t}$ ที่ $\sum _{t\in T}cost({\mathcal {P}}_{t})\leq 2\cdot ({\mbox{cost of all spiders}})$ เพราะว่า

สังเกตว่า white vertex ไม่ share กันระหว่าง spider
ทุก ๆ black vertex เป็น leg ของ k spiders (ดังนั้นดึงมาตัวละ path)

ด้านบนคือหัวใจของบทพิสูจน์ของ Lemma 4.3 ใน Chekuri-Korula

Spider decomposition บนกรณี bipartite

พิจารณากรณีที่ไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง 2 white vertices เราสามารถสมมติว่าไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง black vertices ได้ด้วย โดยการใส่จุดขาวลงไปตรงกลางเส้นเชื่อมระหว่าง black vertices ดังนั้นเราอยู่ในกรณีที่กราฟเป็น bipartite โดยกลุ่มหนึ่งคือ white vertices อีกกลุ่มคือ black vertices

เราจะแสดงว่า ในกรณี bipartite ดังกล่าว บนกราฟที่ทุก ๆ terminal นั้น $k$ -vertex connected ไปยัง root จะมี spider decomposition

ก่อนอื่น สังเกตว่า เราสามารถลบ white vertex ที่มี degree เป็น 1 ทิ้งได้ (เพราะว่าไม่ได้ทำให้ terminal ใดติดกับใครได้เลย)
จากนั้น สังเกตว่าทุก ๆ terminal $u$ จะต้องมี อย่างน้อย $k$ vertices ที่ติดกับมัน และจะต้องเป็น white vertices ทั้งหมดด้วย
เลือก edge ที่ติดกับ $u$ มา $k$ edges
พิจารณา white vertex $v$ $v$ ที่มีบาง edge ที่ติดกับมันโดนเลือก
- ถ้ามีอย่างน้อย 2 edge --- ให้ vertex นั้นเป็น head ของ spider และให้แต่ละ terminal ที่เลือก edge เหล่านั้นเป็น foot ของ spider
- ถ้ามีแค่ edge เดียว --- ให้เลือก edge ที่ติดกับ $v$ ไปยัง อีก terminal หนึ่ง สมมติว่าเป็น $w$ , ให้ $w$ เป็น head ของ spider ที่มี $u$ เป็น foot

พิจารณารูปด้านล่าง (กรณี k=2) รูปซ้ายแสดงการเลือก เส้นเชื่อมสีเขียวคือเส้นเชื่อมที่ไม่ถูกเลือก รูปขวาแสดง spider 2 spider, สังเกตว่า black vertex ที่สามจากซ้าย เป็น foot ของ 2 spiders และเป็น head ของอีก 1 spider

บทพิสูจน์: มี spider decomposition (Thm 4.4 ใน Chekuri-Korula)

ส่วนนี้จะมาเขียนทีหลัง

โดย induction บนจำนวน edge ระหว่าง white vertices ใน G ใน base case ให้กราฟ G ไม่มี edge ดังกล่าวเลย จะได้ว่า G เป็น bipartite. ( edge ระหว่าง black vertices ก็ไม่มีด้วย) เนื่องจากแต่ละคู่ของ black vertices เป็น k-element connected แสดงว่าแต่ละ black vertex จะต้องมีอย่างน้อย k white vertices ที่ติดกับมัน

เราจะสร้าง set of spiders โดยให้แต่ละโหนด b

Approximating SS-k-VC-SNDP

ในส่วนนี้จะอธิบายอัลกอริทึมตามที่ปรากฎใน Chekuri-Korula

ให้กราฟ $G=(V,E)$ เซตของ terminals $T$ และ root $r$

สำหรับสับเซตของ terminals $T'$ ใด ๆ และ terminal $t\in T-T'$ , เราจะกล่าวว่า เซตของ $k$ paths $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}$ เป็น augmentation for $t$ w.r.t. $T'$ ถ้า

path เริ่มที่ t ไปถึงโหนดใน $T'\cup \{r\}$
path เหล่านั้น internally vertex disjoint,
terminal ใน $T'$ เป็นจุดปลายได้แค่ path เดียว

อัลกอริทึมเป็นดังนี้

1. สุ่มลำดับ terminal ให้เป็น  $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{j}$ 
2. ให้ H เป็นกราฟว่าง
3. พิจารณา  $t=t_{1},t_{2},\ldots$ 
   3.1 หา min-cost augmentation for  $t$  w.r.t.  $T_{i-1}$  เมื่อ  $T_{i}=\{t_{1},\ldots ,t_{i}\}$ 
   3.2 นำผลลัพธ์ที่ได้ใส่ใน H
4. output H

ความถูกต้อง

เก็บไว้เป็นการบ้านก่อนแล้วกันนะ ;)

ค่าใช้จ่าย

key หลักในการพิสูจน์เกี่ยวกับค่าใช้จ่ายคือ Theorem 4.2 ดังแสดงด้านล่าง

Theorem 4.2 ให้ OPT แทนค่าใช้จ่ายของ optimal solution, และ $AugCost(t)$ แทนค่าใช้จ่ายในการ augmentation for t w.r.t $T-\{t\}$ , $\sum _{t}AugCost(t)\leq 8k\cdot OPT$

จาก theorem ดังกล่าว เราจะพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมด้านบนมี expected cost $O(k\cdot \log |T|\cdot OPT)$

Claim: Expected cost ในการ augment $t_{i}$ คือ $8k\cdot OPT/i$

Proof of claim: (sketch) สำหรับ $T'\subseteq T$ , ให้ $OPT(T')$ แทนคำตอบที่ดีที่สุดของ SS-k-SNDP เมื่อให้ terminal set เป็น $T'$

$OPT(T')\leq OPT(T)$
ใช้ Theorem 4.2 บน $T_{i}$ จะได้ว่า $\sum _{t\in T_{i}}AugCost(t)\leq 8k\cdot OPT(T_{i})\leq 8k\cdot OPT(T)$
สังเกตว่า given $T_{i}$ โหนดสุดท้ายที่จะถูก add (นั่นคือ $t_{i}$ ) สามารถเป็นโหนดใด ๆ ก็ได้ใน $T_{i}$ ดังนั้น expected cost คือ $8k\cdot OPT/i$ ตามต้องการ เพราะ $|T_{i}|=i$

จาก claim ดังกล่าว approximation ratio สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ linearity of expectation.

note ถ้าไม่สุ่ม permutation แล้วคิดแบบ expected จะมีกรณีที่อัลกอริทึมให้ผลลัพธ์ที่มีค่าใช้จ่ายเป็น $\Omega (|T|\cdot OPT)$

@@ แถว 1: / แถว 1: @@
-This page describes '''spider decompositions''' and the approach of Chuzhoy Khanna and Chekuri and Korula in tackling the single-source k sndp.
+This page describes '''spider decompositions''' and the approach of Chuzhoy Khanna and [http://arxiv.org/abs/0902.2795 Chekuri and Korula] in tackling the single-source k sndp.
 ให้กราฟ <math>G=(V,E)</math> เซตของ terminals ''T'' และจำนวนเต็มบวก <math>k</math> เรียกโหนดใน ''T'' ว่าเป็น black vertices, นอกจากนั้นเป็น white vertices.
 '''Spider''' คือ tree ที่มีโหนดที่มีดีกรีมากกว่าสองไม่เกิน 1 จุดยอด ถ้ามี vertex ดังกล่าว จะเรียกว่าเป็น '''head'''  ถ้าไม่มี spider จะเป็น path และจะสามารถเรียกโหนดใดเป็น head ก็ได้; เรียกจุดยอดที่ไม่ใช่ leaf และ head ว่า '''intermediate vertex''', เรียก leaf ว่า '''foot''', เรียก path จาก head ไป leaf ว่า '''leg'''
+=== ภาพรวม (ตาม Chekuri-Korula) ===
+* อัลกอริทึมใช้ greedy augmentation บนลำดับแบบสุ่มของ terminal
+* cost พิสูจน์ด้วย '''Theorem 4.2''' ที่แสดงว่า cost ในการทำ augmentation '''จากทุกโหนด''' ไม่เกิน <math>8k\cdot OPT</math> (ดูด้านล่าง)
+* key lemma คือ '''Lemma 4.3''' ที่แสดงว่ามีจากทุก ๆ terminal มี set ของ internal vertex disjoint path ไปยัง terminal อื่น ๆ  ที่ cost รวมไม่เกิน 2 เท่าของ opt, lemma นี้พิสูจน์ได้โดยแสดงว่ามี spider decomposition
+* spider decomposition พิสูจน์ด้วย Reduction Lemma
+'''ข้อสังเกต''': จาก Lemma 4.3 มา Theorem 4.2 เสียไป <math>k</math>
 == Decomposition ==
@@ แถว 10: / แถว 18: @@
 Chekuri-Korula [Theorem 4.4] แสดงว่า ให้กราฟ G ที่ทุก ๆ คู่ของจุดยอดสีดำ ''k''-element connected, มีสับกราฟ ''H'' ของ ''G'' ที่สามารถ partition เป็น spiders ที่
-# ทุก ๆ leaf เป็น black vertex
+# ทุก ๆ leaf เป็น black vertex และ ทุก ๆ intermediate vertex เป็น white vertex  (สังเกตว่า head เป็น black vertex ได้)
-# ทุก ๆ black vertex เป็น foot ของ ''k'' spiders พอดี
+# ทุก ๆ black vertex เป็น '''foot ของ ''k'' spiders พอดี''', และ ทุก ๆ white vertex '''อยู่ใน 1 spider เท่านั้น'''
-# ทุก ๆ intermediate vertex เป็น white vertex  (สังเกตว่า head เป็น black vertex ได้)  และสำหรับกรณีที่ spider มี white vertex เป็น head จะต้องมี leg อย่างน้อย 2 legs
+# สำหรับกรณีที่ spider มี white vertex เป็น head จะต้องมี leg อย่างน้อย 2 legs
 ด้านล่างแสดงตัวอย่างของ spiders
@@ แถว 18: / แถว 26: @@
 [[ภาพ:Spiders.png]]
-===พิสูจน์=== โดย induction บนจำนวน edge ระหว่าง white vertices ใน G
+===spider decomposition กับ set ของ paths===
+พิจารณา spider แต่ละตัว เราจะพบว่าเราสามารถหาเซตของ path จากแต่ละ foot หนึ่ง ๆ ไปยังอีก foot ใด ๆ ได้ โดยที่ค่าใช้จ่ายรวมไม่เกิน 2 เท่าของ cost ของ spider  (ดูรูป)
+[[ภาพ:Spiders-paths.png]]
+ดังนั้น ถ้าเรามี spider decomposition เราจะได้ว่าเราสามารถหา, สำหรับทุก ๆ terminal <math>t</math>, set of <math>k</math> internally vertex disjoint paths <math>{\mathcal P}_t</math> ที่ <math>\sum_{t\in T}cost({\mathcal P}_t)\leq 2\cdot(\mbox{cost of all spiders})</math> เพราะว่า
+* สังเกตว่า white vertex ไม่ share กันระหว่าง spider
+* ทุก ๆ black vertex เป็น leg ของ ''k'' spiders (ดังนั้นดึงมาตัวละ path)
+ด้านบนคือหัวใจของบทพิสูจน์ของ Lemma 4.3 ใน Chekuri-Korula
+===Spider decomposition บนกรณี bipartite===
+พิจารณากรณีที่ไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง 2 white vertices  เราสามารถสมมติว่าไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง black vertices ได้ด้วย โดยการใส่จุดขาวลงไปตรงกลางเส้นเชื่อมระหว่าง black vertices  ดังนั้นเราอยู่ในกรณีที่กราฟเป็น bipartite โดยกลุ่มหนึ่งคือ white vertices อีกกลุ่มคือ black vertices
+เราจะแสดงว่า ในกรณี bipartite ดังกล่าว บนกราฟที่ทุก ๆ terminal นั้น <math>k</math>-vertex connected ไปยัง root จะมี spider decomposition
+* ก่อนอื่น สังเกตว่า เราสามารถลบ white vertex ที่มี degree เป็น 1 ทิ้งได้ (เพราะว่าไม่ได้ทำให้ terminal ใดติดกับใครได้เลย)
+* จากนั้น สังเกตว่าทุก ๆ terminal <math>u</math> จะต้องมี อย่างน้อย <math>k</math> vertices ที่ติดกับมัน และจะต้องเป็น white vertices ทั้งหมดด้วย
+* เลือก edge ที่ติดกับ <math>u</math> มา <math>k</math> edges
+* พิจารณา white vertex <math>v</math> ที่มีบาง edge ที่ติดกับมันโดนเลือก
+** ถ้ามีอย่างน้อย 2 edge --- ให้ vertex นั้นเป็น head ของ spider และให้แต่ละ terminal ที่เลือก edge เหล่านั้นเป็น foot ของ spider
+** ถ้ามีแค่ edge เดียว --- ให้เลือก edge ที่ติดกับ <math>v</math> ไปยัง อีก terminal หนึ่ง สมมติว่าเป็น <math>w</math>, ให้ <math>w</math> เป็น head ของ spider ที่มี <math>u</math> เป็น foot
+พิจารณารูปด้านล่าง (กรณี k=2)  รูปซ้ายแสดงการเลือก เส้นเชื่อมสีเขียวคือเส้นเชื่อมที่ไม่ถูกเลือก  รูปขวาแสดง spider 2 spider, สังเกตว่า black vertex ที่สามจากซ้าย เป็น foot ของ 2 spiders และเป็น head ของอีก 1 spider
+[[ภาพ:Spider-bipartite.png]]
+===บทพิสูจน์: มี spider decomposition (Thm 4.4 ใน Chekuri-Korula)===
+ ส่วนนี้จะมาเขียนทีหลัง
+โดย induction บนจำนวน edge ระหว่าง white vertices ใน G
 ใน base case ให้กราฟ G ไม่มี edge ดังกล่าวเลย จะได้ว่า G เป็น bipartite. ( edge ระหว่าง black vertices ก็ไม่มีด้วย)
 เนื่องจากแต่ละคู่ของ black vertices เป็น k-element connected แสดงว่าแต่ละ black vertex จะต้องมีอย่างน้อย k white vertices ที่ติดกับมัน
@@ แถว 25: / แถว 65: @@
 == Approximating SS-k-VC-SNDP ==
+ในส่วนนี้จะอธิบายอัลกอริทึมตามที่ปรากฎใน Chekuri-Korula
+ให้กราฟ <math>G=(V,E)</math> เซตของ terminals <math>T</math> และ root <math>r</math>
+สำหรับสับเซตของ terminals <math>T'</math> ใด ๆ และ terminal <math>t\in T-T'</math>, เราจะกล่าวว่า เซตของ <math>k</math> paths <math>p_1,p_2,\ldots,p_k</math> เป็น '''augmentation for <math>t</math> w.r.t. <math>T'</math>''' ถ้า
+* path เริ่มที่ ''t'' ไปถึงโหนดใน <math>T'\cup\{r\}</math>
+* path เหล่านั้น internally vertex disjoint,
+* terminal ใน <math>T'</math> เป็นจุดปลายได้แค่ path เดียว
+อัลกอริทึมเป็นดังนี้
+. สุ่มลำดับ terminal ให้เป็น <math>t_1,t_2,\ldots,t_j</math>
+. ให้ ''H'' เป็นกราฟว่าง
+. พิจารณา <math>t=t_1,t_2,\ldots</math>
+.1 หา min-cost augmentation for <math>t</math> w.r.t. <math>T_{i-1}</math> เมื่อ <math>T_i=\{t_1,\ldots,t_i\}</math>
+.2 นำผลลัพธ์ที่ได้ใส่ใน ''H''
+. output ''H''
+=== ความถูกต้อง ===
+ เก็บไว้เป็นการบ้านก่อนแล้วกันนะ ;)
+=== ค่าใช้จ่าย ===
+key หลักในการพิสูจน์เกี่ยวกับค่าใช้จ่ายคือ Theorem 4.2 ดังแสดงด้านล่าง
+{{กล่องสี|#ddddff|
+'''Theorem 4.2''' ให้ ''OPT'' แทนค่าใช้จ่ายของ optimal solution, และ <math>AugCost(t)</math> แทนค่าใช้จ่ายในการ augmentation for ''t'' w.r.t <math>T-\{t\}</math>, <math>\sum_{t} AugCost(t)\leq 8k\cdot OPT</math>
+}}
+จาก theorem ดังกล่าว เราจะพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมด้านบนมี expected cost <math>O(k\cdot\log|T|\cdot OPT)</math>
+{{กล่องสี|#ddffdd|
+'''Claim:''' Expected cost ในการ augment <math>t_i</math> คือ <math>8k\cdot OPT/i</math>
+}}
+'''Proof of claim:''' (sketch) สำหรับ <math>T'\subseteq T</math>, ให้ <math>OPT(T')</math> แทนคำตอบที่ดีที่สุดของ SS-k-SNDP เมื่อให้ terminal set เป็น <math>T'</math>
+* <math>OPT(T')\leq OPT(T)</math>
+* ใช้ Theorem 4.2 บน <math>T_i</math> จะได้ว่า <math>\sum_{t\in T_i} AugCost(t)\leq 8k\cdot OPT(T_i)\leq 8k\cdot OPT(T)</math>
+* สังเกตว่า given <math>T_i</math> โหนดสุดท้ายที่จะถูก add (นั่นคือ <math>t_i</math>) สามารถเป็นโหนดใด ๆ ก็ได้ใน <math>T_i</math> ดังนั้น expected cost คือ <math>8k\cdot OPT/i</math> ตามต้องการ เพราะ <math>|T_i|=i</math>
+จาก claim ดังกล่าว approximation ratio สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ linearity of expectation.
+*note ถ้าไม่สุ่ม permutation แล้วคิดแบบ expected จะมีกรณีที่อัลกอริทึมให้ผลลัพธ์ที่มีค่าใช้จ่ายเป็น <math>\Omega (|T|\cdot OPT)</math>
 == Reduction lemma ==
 === Proof of the spider decomposition with the reduction lemma ===

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "VC-SNDP:spider decomposition"

รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 17:18, 27 กุมภาพันธ์ 2552

เนื้อหา

ภาพรวม (ตาม Chekuri-Korula)

Decomposition

spider decomposition กับ set ของ paths

Spider decomposition บนกรณี bipartite

บทพิสูจน์: มี spider decomposition (Thm 4.4 ใน Chekuri-Korula)

Approximating SS-k-VC-SNDP

ความถูกต้อง

ค่าใช้จ่าย

Reduction lemma

Proof of the spider decomposition with the reduction lemma

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ