VC-SNDP:spider decomposition

This page describes spider decompositions and the approach of Chuzhoy Khanna and Chekuri and Korula in tackling the single-source k sndp.

ให้กราฟ $G=(V,E)$ เซตของ terminals T และจำนวนเต็มบวก $k$ เรียกโหนดใน T ว่าเป็น black vertices, นอกจากนั้นเป็น white vertices.

Spider คือ tree ที่มีโหนดที่มีดีกรีมากกว่าสองไม่เกิน 1 จุดยอด ถ้ามี vertex ดังกล่าว จะเรียกว่าเป็น head ถ้าไม่มี spider จะเป็น path และจะสามารถเรียกโหนดใดเป็น head ก็ได้; เรียกจุดยอดที่ไม่ใช่ leaf และ head ว่า intermediate vertex, เรียก leaf ว่า foot, เรียก path จาก head ไป leaf ว่า leg

ภาพรวม (ตาม Chekuri-Korula)

• อัลกอริทึมใช้ greedy augmentation บนลำดับแบบสุ่มของ terminal
• cost พิสูจน์ด้วย Theorem 4.2 ที่แสดงว่า cost ในการทำ augmentation จากทุกโหนด ไม่เกิน $8k\cdot OPT$ (ดูด้านล่าง)
• key lemma คือ Lemma 4.3 ที่แสดงว่ามีจากทุก ๆ terminal มี set ของ internal vertex disjoint path ไปยัง terminal อื่น ๆ ที่ cost รวมไม่เกิน 2 เท่าของ opt, lemma นี้พิสูจน์ได้โดยแสดงว่ามี spider decomposition
• spider decomposition พิสูจน์ด้วย Reduction Lemma

ข้อสังเกต: จาก Lemma 4.3 มา Theorem 4.2 เสียไป $k$

Decomposition

Chuzhoy และ Khanna ได้ใช้ spider decomposition ในการพิสูจน์ approximation algorithm สำหรับ ss-k-sndp อย่างไรก็ตามในที่นี้เราจะใช้ decomposition ที่ weak กว่าของ Chekuri และ Korula

Chekuri-Korula [Theorem 4.4] แสดงว่า ให้กราฟ G ที่ทุก ๆ คู่ของจุดยอดสีดำ k-element connected, มีสับกราฟ H ของ G ที่สามารถ partition เป็น spiders ที่

1. ทุก ๆ leaf เป็น black vertex และ ทุก ๆ intermediate vertex เป็น white vertex (สังเกตว่า head เป็น black vertex ได้)
2. ทุก ๆ black vertex เป็น foot ของ k spiders พอดี, และ ทุก ๆ white vertex อยู่ใน 1 spider เท่านั้น
3. สำหรับกรณีที่ spider มี white vertex เป็น head จะต้องมี leg อย่างน้อย 2 legs

ด้านล่างแสดงตัวอย่างของ spiders

spider decomposition กับ set ของ paths

พิจารณา spider แต่ละตัว เราจะพบว่าเราสามารถหาเซตของ path จากแต่ละ foot หนึ่ง ๆ ไปยังอีก foot ใด ๆ ได้ โดยที่ค่าใช้จ่ายรวมไม่เกิน 2 เท่าของ cost ของ spider (ดูรูป)

ดังนั้น ถ้าเรามี spider decomposition เราจะได้ว่าเราสามารถหา, สำหรับทุก ๆ terminal $t$, set of $k$ internally vertex disjoint paths ${\mathcal {P}}_{t}$ ที่ $\sum _{t\in T}cost({\mathcal {P}}_{t})\leq 2\cdot ({\mbox{cost of all spiders}})$ เพราะว่า

• สังเกตว่า white vertex ไม่ share กันระหว่าง spider
• ทุก ๆ black vertex เป็น leg ของ k spiders (ดังนั้นดึงมาตัวละ path)

ด้านบนคือหัวใจของบทพิสูจน์ของ Lemma 4.3 ใน Chekuri-Korula

Spider decomposition บนกรณี bipartite

พิจารณากรณีที่ไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง 2 white vertices เราสามารถสมมติว่าไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง black vertices ได้ด้วย โดยการใส่จุดขาวลงไปตรงกลางเส้นเชื่อมระหว่าง black vertices ดังนั้นเราอยู่ในกรณีที่กราฟเป็น bipartite โดยกลุ่มหนึ่งคือ white vertices อีกกลุ่มคือ black vertices

เราจะแสดงว่า ในกรณี bipartite ดังกล่าว บนกราฟที่ทุก ๆ terminal นั้น $k$-vertex connected ไปยัง root จะมี spider decomposition

• ก่อนอื่น สังเกตว่า เราสามารถลบ white vertex ที่มี degree เป็น 1 ทิ้งได้ (เพราะว่าไม่ได้ทำให้ terminal ใดติดกับใครได้เลย)
• จากนั้น สังเกตว่าทุก ๆ terminal $u$ จะต้องมี อย่างน้อย $k$ vertices ที่ติดกับมัน และจะต้องเป็น white vertices ทั้งหมดด้วย
• เลือก edge ที่ติดกับ $u$ มา $k$ edges
• พิจารณา white vertex $v$ ที่มีบาง edge ที่ติดกับมันโดนเลือก
  • ถ้ามีอย่างน้อย 2 edge --- ให้ vertex นั้นเป็น head ของ spider และให้แต่ละ terminal ที่เลือก edge เหล่านั้นเป็น foot ของ spider
  • ถ้ามีแค่ edge เดียว --- ให้เลือก edge ที่ติดกับ $v$ ไปยัง อีก terminal หนึ่ง สมมติว่าเป็น $w$, ให้ $w$ เป็น head ของ spider ที่มี $u$ เป็น foot

พิจารณารูปด้านล่าง (กรณี k=2) รูปซ้ายแสดงการเลือก เส้นเชื่อมสีเขียวคือเส้นเชื่อมที่ไม่ถูกเลือก รูปขวาแสดง spider 2 spider, สังเกตว่า black vertex ที่สามจากซ้าย เป็น foot ของ 2 spiders และเป็น head ของอีก 1 spider

บทพิสูจน์: มี spider decomposition (Thm 4.4 ใน Chekuri-Korula)

ส่วนนี้จะมาเขียนทีหลัง

โดย induction บนจำนวน edge ระหว่าง white vertices ใน G ใน base case ให้กราฟ G ไม่มี edge ดังกล่าวเลย จะได้ว่า G เป็น bipartite. ( edge ระหว่าง black vertices ก็ไม่มีด้วย) เนื่องจากแต่ละคู่ของ black vertices เป็น k-element connected แสดงว่าแต่ละ black vertex จะต้องมีอย่างน้อย k white vertices ที่ติดกับมัน

เราจะสร้าง set of spiders โดยให้แต่ละโหนด b

Approximating SS-k-VC-SNDP

ในส่วนนี้จะอธิบายอัลกอริทึมตามที่ปรากฎใน Chekuri-Korula

ให้กราฟ $G=(V,E)$ เซตของ terminals $T$ และ root $r$

สำหรับสับเซตของ terminals $T'$ ใด ๆ และ terminal $t\in T-T'$, เราจะกล่าวว่า เซตของ $k$ paths $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}$ เป็น augmentation for $t$ w.r.t. $T'$ ถ้า

• path เริ่มที่ t ไปถึงโหนดใน $T'\cup \{r\}$
• path เหล่านั้น internally vertex disjoint,
• terminal ใน $T'$ เป็นจุดปลายได้แค่ path เดียว

อัลกอริทึมเป็นดังนี้

1. สุ่มลำดับ terminal ให้เป็น $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{j}$
2. ให้ H เป็นกราฟว่าง
3. พิจารณา $t=t_{1},t_{2},\ldots$
   3.1 หา min-cost augmentation for $t$ w.r.t. $T_{i-1}$ เมื่อ $T_{i}=\{t_{1},\ldots ,t_{i}\}$
   3.2 นำผลลัพธ์ที่ได้ใส่ใน H
4. output H

ความถูกต้อง

เก็บไว้เป็นการบ้านก่อนแล้วกันนะ ;)

ค่าใช้จ่าย

key หลักในการพิสูจน์เกี่ยวกับค่าใช้จ่ายคือ Theorem 4.2 ดังแสดงด้านล่าง

Theorem 4.2 ให้ OPT แทนค่าใช้จ่ายของ optimal solution, และ $AugCost(t)$ แทนค่าใช้จ่ายในการ augmentation for t w.r.t $T-\{t\}$, $\sum _{t}AugCost(t)\leq 8k\cdot OPT$

จาก theorem ดังกล่าว เราจะพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมด้านบนมี expected cost $O(k\cdot \log |T|\cdot OPT)$

Claim: Expected cost ในการ augment $t_{i}$ คือ $8k\cdot OPT/i$

Proof of claim: (sketch) สำหรับ $T'\subseteq T$, ให้ $OPT(T')$ แทนคำตอบที่ดีที่สุดของ SS-k-SNDP เมื่อให้ terminal set เป็น $T'$

• $OPT(T')\leq OPT(T)$
• ใช้ Theorem 4.2 บน $T_{i}$ จะได้ว่า $\sum _{t\in T_{i}}AugCost(t)\leq 8k\cdot OPT(T_{i})\leq 8k\cdot OPT(T)$
• สังเกตว่า given $T_{i}$ โหนดสุดท้ายที่จะถูก add (นั่นคือ $t_{i}$) สามารถเป็นโหนดใด ๆ ก็ได้ใน $T_{i}$ ดังนั้น expected cost คือ $8k\cdot OPT/i$ ตามต้องการ เพราะ $|T_{i}|=i$

จาก claim ดังกล่าว approximation ratio สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ linearity of expectation.

• note ถ้าไม่สุ่ม permutation แล้วคิดแบบ expected จะมีกรณีที่อัลกอริทึมให้ผลลัพธ์ที่มีค่าใช้จ่ายเป็น $\Omega (|T|\cdot OPT)$