รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 08:07, 4 สิงหาคม 2552

เนื้อหา

1 ข้อย่อย 1
2 ข้อย่อย 2
3 ข้อย่อย 3
4 ข้อย่อย 4

ข้อย่อย 1

จาก $E[X|X_{1}$ is even] $=E[X_{1}|X_{1}$ is even] $+E[X_{2}|X_{1}$ is even]จาก linearity of expectations

$Pr(X_{1}$ is even) $=Pr(X_{1}=2)+Pr(X_{1}=4)+Pr(X_{1}=6)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$

จากโจทย์ $X_{1},X_{2}$ เป็นอิสระจากกัน

หาค่า

$E[X_{1}|X_{1}$ is even] $=2\times {\frac {1}{3}}+4\times {\frac {1}{3}}+6\times {\frac {1}{3}}=4$

$E[X_{2}|X_{1}$ is even] $=3.5$

ดังนั้น $E[X|X_{1}$ is even] $=E[X_{1}|X_{1}$ is even] $+E[X_{2}|X_{1}$ is even]=4+3.5=7.5

ข้อย่อย 2

จาก $E[X|X_{1}=X_{2}]=E[X_{1}|X_{1}=X_{2}]+E[X_{2}|X_{1}=X_{2}]$

$Pr(X_{1}=X_{2})=Pr(X_{1}=X_{2}=1)+Pr(X_{1}=X_{2}=2)+Pr(X_{1}=X_{2}=3)+Pr(X_{1}=X_{2}=4)+Pr(X_{1}=X_{2}=5)+Pr(X_{1}=X_{2}=6)={\frac {6}{36}}={\frac {1}{6}}$

$E[X_{1}|X_{1}=X_{2}]=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5$

$E[X_{2}|X_{1}=X_{2}]=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5$

ดังนั้น $E[X|X_{1}=X_{2}]=E[X_{1}|X_{1}=X_{2}]+E[X_{2}|X_{1}=X_{2}]=3.5+3.5=7$

ข้อย่อย 3

$Pr(X=9)=Pr(X_{1}+X_{2}=9)=Pr(X_{1}=3,X_{2}=6)+Pr(X_{1}=4,X_{2}=5)+Pr(X_{1}=5,X_{2}=4)+Pr(X_{1}=6,X_{2}=3)={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}$

$E[X_{1}|X=9]=3\times {\frac {\frac {1}{36}}{\frac {1}{9}}}+4\times {\frac {\frac {1}{36}}{\frac {1}{9}}}+5\times {\frac {\frac {1}{36}}{\frac {1}{9}}}+6\times {\frac {\frac {1}{36}}{\frac {1}{9}}}=4.5$

ข้อย่อย 4

พิจารณาค่าของ $X_{1},X_{2}$ ที่เป็นไปได้ที่ทำให้ $X=X_{1}+X_{2}=k;2\leq k\leq 12$

จะได้ว่า สำหรับ k=2 $X_{1}=1,X_{2}=1$

สำหรับ k=3 $X_{1}=1,X_{2}=2$ หรือ $X_{1}=2,X_{2}=1$

สำหรับ k=4 $X_{1}=1,X_{2}=3$ หรือ $X_{1}=2,X_{2}=2$ หรือ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

X_{1}=3,X_{2}=1

สำหรับ k=5 $X_{1}=1,X_{2}=4$ หรือ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

X_{1}=2,X_{2}=3

หรือ

X_{1}=3,X_{2}=2

หรือ

Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 200332512 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 16 Mar 2026 22:04:06 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49

จากคุณสมบัติ linearity of expectations จะได้ว่า $E[X_{1}-X_{2}|X=k]=E[X_{1}|X=k]-E[X_{2}|X=k]$

ซึ่ง $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

E[X_{1}|X=k]=E[X_{2}|X=k]

เนื่องจากกรณีทั้งสองเป็นกรณีที่สมมาตรกัน

ดังนั้น จาก $E[X_{1}-X_{2}|X=k]=E[X_{1}|X=k]-E[X_{2}|X=k]=E[X_{1}|X=k]-E[X_{1}|X=k]=0$

@@ แถว 31: / แถว 31: @@
 == ข้อย่อย 4 ==
+พิจารณาค่าของ <math>X_1,X_2</math> ที่เป็นไปได้ที่ทำให้ <math>X=X_1+X_2=k; 2 \leq k \leq 12</math>
+จะได้ว่า สำหรับ k=2 <math>X_1=1,X_2=1</math>
+สำหรับ k=3 <math>X_1=1,X_2=2</math> หรือ <math>X_1=2,X_2=1</math>
+สำหรับ k=4 <math>X_1=1,X_2=3</math> หรือ <math>X_1=2,X_2=2</math> หรือ <math>X_1=3,X_2=1</math>
+สำหรับ k=5 <math>X_1=1,X_2=4</math> หรือ <math>X_1=2,X_2=3</math> หรือ <math>X_1=3,X_2=2</math> หรือ <math>X_1=4,X_2=1</math>
+จากคุณสมบัติ linearity of expectations จะได้ว่า <math>E[X_1-X_2|X=k]=E[X_1|X=k]-E[X_2|X=k]</math>
+ซึ่ง <math>E[X_1|X=k]=E[X_2|X=k]</math> เนื่องจากกรณีทั้งสองเป็นกรณีที่สมมาตรกัน
+ดังนั้น จาก <math>E[X_1-X_2|X=k]=E[X_1|X=k]-E[X_2|X=k]=E[X_1|X=k]-E[X_1|X=k]=0</math>

ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 2"

รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 08:07, 4 สิงหาคม 2552

เนื้อหา

ข้อย่อย 1

ข้อย่อย 2

ข้อย่อย 3

ข้อย่อย 4

Error

Error

Error

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ