418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 2

ข้อย่อย 1

จาก $E[X|X_{1}$ is even]$=E[X_{1}|X_{1}$ is even]$+E[X_{2}|X_{1}$is even]จาก linearity of expectations

$Pr(X_{1}$ is even)$=Pr(X_{1}=2)+Pr(X_{1}=4)+Pr(X_{1}=6)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$

จากโจทย์ $X_{1},X_{2}$ เป็นอิสระจากกัน

หาค่า

$E[X_{1}|X_{1}$ is even] $=2\times {\frac {1}{3}}+4\times {\frac {1}{3}}+6\times {\frac {1}{3}}=4$

$E[X_{2}|X_{1}$ is even] $=3.5$

ดังนั้น $E[X|X_{1}$ is even] $=E[X_{1}|X_{1}$ is even] $+E[X_{2}|X_{1}$ is even]=4+3.5=7.5

ข้อย่อย 2

จาก $E[X|X_{1}=X_{2}]=E[X_{1}|X_{1}=X_{2}]+E[X_{2}|X_{1}=X_{2}]$

$Pr(X_{1}=X_{2})=Pr(X_{1}=X_{2}=1)+Pr(X_{1}=X_{2}=2)+Pr(X_{1}=X_{2}=3)+Pr(X_{1}=X_{2}=4)+Pr(X_{1}=X_{2}=5)+Pr(X_{1}=X_{2}=6)={\frac {6}{36}}={\frac {1}{6}}$

$E[X_{1}|X_{1}=X_{2}]=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5$

$E[X_{2}|X_{1}=X_{2}]=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5$

ดังนั้น $E[X|X_{1}=X_{2}]=E[X_{1}|X_{1}=X_{2}]+E[X_{2}|X_{1}=X_{2}]=3.5+3.5=7$

ข้อย่อย 3

$Pr(X=9)=Pr(X_{1}+X_{2}=9)=Pr(X_{1}=3,X_{2}=6)+Pr(X_{1}=4,X_{2}=5)+Pr(X_{1}=5,X_{2}=4)+Pr(X_{1}=6,X_{2}=3)={\frac {4}{36}}={\frac {1}{9}}$

$E[X_{1}|X=9]=3\times {\frac {\frac {1}{36}}{\frac {1}{9}}}+4\times {\frac {\frac {1}{36}}{\frac {1}{9}}}+5\times {\frac {\frac {1}{36}}{\frac {1}{9}}}+6\times {\frac {\frac {1}{36}}{\frac {1}{9}}}=4.5$

ข้อย่อย 4

พิจารณาค่าของ $X_{1},X_{2}$ ที่เป็นไปได้ที่ทำให้ $X=X_{1}+X_{2}=k;2\leq k\leq 12$

จะได้ว่า สำหรับ k=2 $X_{1}=1,X_{2}=1$

สำหรับ k=3 $X_{1}=1,X_{2}=2$ หรือ $X_{1}=2,X_{2}=1$

สำหรับ k=4 $X_{1}=1,X_{2}=3$ หรือ $X_{1}=2,X_{2}=2$ หรือ $X_{1}=3,X_{2}=1$

สำหรับ k=5 $X_{1}=1,X_{2}=4$ หรือ $X_{1}=2,X_{2}=3$ หรือ $X_{1}=3,X_{2}=2$ หรือ $X_{1}=4,X_{2}=1$

จากคุณสมบัติ linearity of expectations จะได้ว่า $E[X_{1}-X_{2}|X=k]=E[X_{1}|X=k]-E[X_{2}|X=k]$

ซึ่ง $E[X_{1}|X=k]=E[X_{2}|X=k]$ เนื่องจากกรณีทั้งสองเป็นกรณีที่สมมาตรกัน

ดังนั้น จาก $E[X_{1}-X_{2}|X=k]=E[X_{1}|X=k]-E[X_{2}|X=k]=E[X_{1}|X=k]-E[X_{1}|X=k]=0$