418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 3

ข้อ 1

เราได้ว่า

$\Pr(X=Y)\,$	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(X=k\wedge Y=k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(X=k)\Pr(Y=k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{1-k}p(1-q)^{1-k}q\,$
	$=\,$	$pq\sum _{k=0}^{\infty }[(1-p)(1-q)]^{k}\,$
	$=\,$	${\frac {pq}{1-(1-p)(1-q)}}\,$

ข้อ 2

เนื่องจาก $\max(X,Y)\,$ เป็น random variable ที่มีค่าไม่เป็นลบ

$E[\max(X,Y)]\,$

$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(\max(X,Y)\geq k)\,$

พิจารณา $\Pr(\max(X,Y)\geq k)\,$ เราได้ว่า

	$=\,$
	$=\,$

ฉะนั้น

	$=\,$
	$=\,$	${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{1-(1-p)(1-q)}}\,$

ข้อ 3

เราได้ว่า

$\Pr(\min(X,Y)=k)\,$	$=\,$	$\Pr(X=k\wedge Y>k)+\Pr(Y=k\wedge X>k)+\Pr(X=k\wedge Y=k)\,$
	$=\,$	$\Pr(X=k)\Pr(Y>k)+\Pr(X>k)\Pr(Y=k)+\Pr(X=k)\Pr(Y=k)\,$
	$=\,$	$(1-p)^{k-1}p(1-q)^{k}+(1-p)^{k}(1-q)^{k-1}q+(1-p)^{k-1}p(1-q)^{k-1}q\,$
		$(1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}(p+q-pq)\,$

ข้อ 4

เราได้ว่า

	$=\,$	$E[X\ |\ \min(X,Y)=X]\,$
		$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(\min(X,Y)=k)E[X\ |\ \min(X,Y)=X\wedge \min(X,Y)=k]\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(\min(X,Y)=k)E[X\ |\ X=k\wedge \min(X,Y)=k]\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }k\Pr(\min(X,Y)=k)\,$
	$=\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 679284331 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sat, 24 Jan 2026 00:24:36 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(\min(X,Y)\geq k)\,$
	$=\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }\Pr(X\geq k)\Pr(Y\geq k)\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }(1-p)^{k-1}(1-q)^{k-1}\,$
	$=\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }[(1-p)(1-q)]^{k-1}\,$
	$=\,$	${\frac {1}{1-(1-p)(1-q)}}={\frac {1}{p+q-pq}}\,$