418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 5

ข้อย่อย 1

ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ $x\in A\cap B$ เราได้ว่า $x\in A$ และ $x\in B$

ข้อความ $A\cap (B-C)=\emptyset$ สมมูลกับข้อความ $\forall y[y\in A\rightarrow y\not \in B-C]$ ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $x\not \in B-C$

ข้อความ $x\not \in B-C$ สมมูลกับข้อความ $\neg (x\in B\wedge x\not \in C)$ ซึ่งสมมูลกับข้อความ $x\not \in B\vee x\in C$

แต่เนื่องจากตามสมมติฐาน $x\in B$ ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า $x\in C$

เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราสรุปได้ว่า $\forall x[x\in A\cap B\rightarrow x\in C]$ หรือ $A\cap B\subseteq C$ นั่นเอง

ข้อย่อย 2

จากโจทย์ให้ $x$ เป็นจำนวนจริง ต้องการแสดงว่าถ้า $x\neq 1$ แล้วมีจำนวนจริง $y$ ที่ทำให้สมการ ${\frac {y+1}{y+2}}=x$ เป็นจริง จะทำการพิสูจน์โดยการหาจำนวนจริง $y$ บางค่าที่ทำให้สมการดังกล่าวเป็นจริง

ให้จำนวนจริง $y={\frac {2x-1}{1-x}}$

จาก $y={\frac {2x-1}{1-x}}$ เมื่อ $x\neq 1$

แทนค่า $y$ จะได้ $y={\frac {{\frac {2x-1}{1-x}}+1}{{\frac {2x-1}{1-x}}+2}}=x$

ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าให้ $x$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $x\neq 1$ แล้วมีจำนวนจริง $y$ ที่ทำให้สมการ ${\frac {y+1}{y+2}}=x$ เป็นจริง

ข้อย่อย 3

สมมติว่า x > 2

ให้ $y={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}$ ได้ว่า y เป็นจำนวนจริงเนื่องจาก $x^{2}>4$

นอกจากนี้เรายังได้ว่า

$y+{\frac {1}{y}}\,$	$=\,$	${\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}+{\frac {2}{x+{\sqrt {x^{2}-4}}}}\,$
$y+{\frac {1}{y}}\,$	$=\,$	${\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}+{\frac {2}{x+{\sqrt {x^{2}-4}}}}\times {\frac {x-{\sqrt {x^{2}-4}}}{x-{\sqrt {x^{2}-4}}}}\,$
$y+{\frac {1}{y}}\,$	$=\,$	${\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}+{\frac {2(x-{\sqrt {x^{2}-4}})}{4}}\,$
	$=\,$	${\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}+{\frac {x-{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\,$
$\,$	$=\,$	${\frac {2x}{2}}=x\,$