204512-53/lecture2

Red-Black Trees

* เป็น Binary tree * Assume ว่าทุก node จบลงที่ Nil Node(All leaf node is Nil)

เงื่อนไข

• Node ใดๆจะเป็นสีแดงไม่ก็ดำ
• Root เป็นสีดำ
• Leaf เป็นสีดำ
• Node ใดเป็น Red Node Child ของ Node นั้นจะต้องเป็น Black Node
• จาก Node u ใดๆทุกๆ Path จาก Node ดังกล่าวไปยัง Leaf ของมันจะต้องมี Node ที่เป็นสีดำเท่ากันทั้งหมด

Lemma

Red-Black tree ที่มี n internal nodes จะมีความสูงไม่เกิน 2log(n+1)

Proof

นิยาม ที่ Node u ใดๆ bh(u) (black height ของ u) จะเท่ากับจำนวน Black Node จาก u ไป Node Leaf ใดๆ(ไม่นับ u)) Claim สำหรับ internal node u ใดๆจำนวน internal node ใน sub-tree ใดๆที่ u เป็น rootจะมีค่าไม่น้อยกว่า 2^bh(u) -1

Proof (By induction) ให้ w = u.left และ h = u.right bh(w) ≥ bh(u) – 1 bh(x) ≥ bh(u) – 1 โดย Induction Sub-tree ของ w มี internal node ≥ 2^bh(w) -1 ≥ 2^(bh(u)-1) -1 Sub-tree ของ x มี internal node ≥ 2^bh(x) -1 ≥ 2^(bh(u)-1) -1 ดังนั้น internal node ของ u = 1 + 2^(bh(u)-1) -1 + 2^(bh(u)-1) -1 = 2^bh(u) -1 พิจารณา Red-Black Tree ใดๆสูง h bh(h) ≥ h/2 (เนื่องจาก Red Node จะต้องตามด้วย Black Node เสมอ) จะได้ Internal node (n) n ≥ 2^bh(h) -1 n ≥ 2^(h/2)-1 n+1 ≥ 2^(h/2) log(n+1)≤ h/2 h ≤2log(n+1)