ผลต่างระหว่างรุ่นของ "204512-53/lecture10"

จาก Theory Wiki
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
(หน้าที่ถูกสร้างด้วย '== Dynamic Programming == === ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน === ไฟล์:ex1.jpg จากร…')
 
 
(ไม่แสดง 48 รุ่นระหว่างกลางโดยผู้ใช้ 2 คน)
แถว 1: แถว 1:
== Dynamic Programming ==
+
จดบันทึกคำบรรยายโดย: <br>
 +
  นายธนพล พุฒธรรม        5214550103 <br>
 +
  นายประธาน สมบูรณ์        5214550189 <br>
 +
  นายพีรพล บุญธกานนท์      5214550197 <br>
 +
  นายเมธา จึงประเสริฐ        5214550227 <br>
  
=== ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน ===
+
== '''Dynamic Programming''' ==
 +
 
 +
== '''ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน''' ==
  
 
[[ไฟล์:ex1.jpg]]
 
[[ไฟล์:ex1.jpg]]
  
จากรูปแต่ละ node มีคะแนนอยู่ ต้องเริ่มจาก start ไปยัง end ให้ได้คะแนนรวมสูงสุดจะทำอย่างไร<br>
+
'''''จากรูป แต่ละ node มีคะแนนอยู่ ต้องเริ่มจาก start ไปยัง end จะวิ่งทางไหนให้ได้คะแนนรวมสูงสุด ?'''''<br>
วิธีการที่ง่ายที่สุดคือคำนวณผลรวมจากทุกเส้นทางแล้วหาเส้นทางที่มากที่สุด จากความสูง k จะใช้เวลา O(2<sup>k</sup>)<br>
+
วิธีการพื้นฐานในการหาคำตอบ คือ ลองทุกทาง แล้วหาเส้นทางที่ได้ผลรวมคะแนนมากที่สุด จากความสูง k จะใช้เวลา O(2<sup>k</sup>) ซึ่งใช้เวลาในการหาคำตอบที่นานมาก<br>
  
 
พิจารณาปัญหาแบบ bottom-up ดูจากโหนดที่ 1 -> 2 -> … -> n  ที่โหนด 2 และ โหนด 3 การจะไปที่โหนด 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่า<br>
 
พิจารณาปัญหาแบบ bottom-up ดูจากโหนดที่ 1 -> 2 -> … -> n  ที่โหนด 2 และ โหนด 3 การจะไปที่โหนด 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่า<br>
แถว 12: แถว 18:
 
พิจารณาปัญหาแบบ top-down ดูจากโหนดที่ n -> (n-1) -> … -> 1  สังเกตโหนดที่ 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่าจาก 2 เส้นทางคือโหนด 2 หรือโหนด 3<br>
 
พิจารณาปัญหาแบบ top-down ดูจากโหนดที่ n -> (n-1) -> … -> 1  สังเกตโหนดที่ 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่าจาก 2 เส้นทางคือโหนด 2 หรือโหนด 3<br>
  
 
+
== '''ปัญหาที่ 2 วิธีการเดินทาง''' ==
=== ปัญหาที่ 2 วิธีการเดินทาง ===
 
  
 
[[ไฟล์:ex2.jpg]]
 
[[ไฟล์:ex2.jpg]]
  
วิธีเดินทางจากโหนด A ไปยังโหนด B ไปได้กี่วิธี<br>
+
'''''วิธีเดินทางจากโหนด A ไปยังโหนด B ไปได้กี่วิธี ?'''''<br>
  
 
วิธีที่ง่ายสุดนับทุกเส้นทางจากโหนด A ไปยังโหนด B จากรูปมีเส้นเชื่อมโหนดครบทุกเส้นทำให้สามารถคำนวณได้เลยไม่ต้องนับ จะได้ <math>\binom{8}{5}</math>  หรือ <math>\binom{8}{3}</math> จะได้ 56 วิธี <br>
 
วิธีที่ง่ายสุดนับทุกเส้นทางจากโหนด A ไปยังโหนด B จากรูปมีเส้นเชื่อมโหนดครบทุกเส้นทำให้สามารถคำนวณได้เลยไม่ต้องนับ จะได้ <math>\binom{8}{5}</math>  หรือ <math>\binom{8}{3}</math> จะได้ 56 วิธี <br>
แถว 23: แถว 28:
 
[[ไฟล์:ex2_1.jpg]]
 
[[ไฟล์:ex2_1.jpg]]
  
จากรูปด้านบนถ้าเส้นเชื่อมไม่ครบทุกโหนดการคำนวณทำได้ยาก การจะนับทีละเส้นทางจาก A -> B ใช้เวลานาน ถ้าพิจารณาจากโหนด B ย้อนกลับขึ้นไป การจะรู้ค่าที่โหนด B ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้า โหนดก่อนหน้าก็ต้องรู้ค่าของโหนดก่อนหน้าถัดไปอีกเรื่อยๆ จนถึงโหนด A ดังนั้นถ้ามีการบันทึกค่าที่โหนดปัจจุบันไว้จะทำให้โหนดถัดมาค่าได้เลยไม่ต้องเริ่มใหม่ทำให้หาวิธีเดินทางได้ 20 วิธีดังนี้ <br>
+
จากรูป ด้านบนถ้าเส้นเชื่อมไม่ครบทุกโหนดการคำนวณทำได้ยาก การจะนับทีละเส้นทางจาก A -> B ใช้เวลานาน ถ้าพิจารณาจากโหนด B ย้อนกลับขึ้นไป การจะรู้ค่าที่โหนด B ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้า โหนดก่อนหน้าก็ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้าถัดไปอีกเรื่อยๆ จนถึงโหนด A ดังนั้นถ้ามีการบันทึกค่าที่โหนดปัจจุบันไว้จะทำให้โหนดถัดมาใช้ค่าได้เลยไม่ต้องเริ่มใหม่ทำให้หาวิธีเดินทางได้ 20 วิธีดังนี้ <br>
  
 
[[ไฟล์:ex2_2.jpg]]
 
[[ไฟล์:ex2_2.jpg]]
  
== ปัญหาที่ 3 ปัญหาการขึ้นบันได ==
+
== '''ปัญหาที่ 3 ปัญหาการขึ้นบันได''' ==
 +
 
 +
'''''มีบันได n ขั้น มีวิธีการเดินขึ้นบันไดได้กี่แบบ ?'''''
 +
 
 +
1) พิจารณาจากข้างบนลงมาข้างล่าง (Top down) จะมองได้ง่ายกว่า โดยจากขั้นที่ n จำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดมาขั้นที่ n ต้องรู้รูปแบบการขึ้น 2 ขั้นก่อนหน้า (ขั้นที่ n-1 และ n-2) ถ้าให้ F(n) แทนจำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดขั้นที่ n จะได้ว่า
 +
 
 +
          ''' F(n) = F(n-1) + F(n-2)'''
 +
 
 +
การหาด้วยวิธีการนี้จะรันช้ามากเพราะ F(n) โตแบบ Exponential เช่น อยากรู้ F(7) ต้องหา F(6) และ F(5)
 +
 
 +
[[ไฟล์:ex3_1.jpg]] [[ไฟล์:ex3_2.jpg]]
 +
 
 +
2) พิจารณาจากข้างล่างขึ้นบน (Buttom up)
 +
  ที่ 0 ขั้น เดินได้กี่แบบ
 +
  ที่ 1 ขั้น เดินได้กี่แบบ
 +
  .
 +
  .
 +
  .
 +
  ที่ n ขั้น เดินได้กี่แบบ
  
มีบันได n ขั้น มีวิธีการเดินขึ้น 2 วิธี คือ เดินขึ้นทีละขั้น หรือเดินขึ้นทีละ 2 ขั้น จะมีรูปแบบในการขึ้นไปถึงขั้นที่ n กี่รูปแบบ
+
[[ไฟล์:ex3_4.jpg]]
  
พิจารณาจากขั้นที่ n จำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดมาขั้นที่ n ต้องรู้รูปแบบการขึ้น 2 ขั้นก่อนหน้า (ขั้นที่ n-1 และ n-2) ถ้าให้ F(n) แทนจำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดขั้นที่ n จะได้ว่า F(n) = F(n-1)+F(n-2) <br>
+
การหาด้วยวิธีการนี้จะรันได้เร็วมาก เพราะการหาค่า F(7) ก็นำเอา F(6) + F(5) = F(7) ดังนั้น การหา F(n) จะใช้เวลา O(n) ซึ่งลำดับแบบนี้จะเรียกว่า "ลำดับฟีโบนักชี"
  
== ปัญหาที่ 4 การแบ่งหุ้น ==
+
== '''ปัญหาที่ 4 การแบ่งหุ้น''' ==
  
มีใบหุ้น nใบ แต่ละใบมีมูลค่า a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, …, a<sub>n</sub>  จะจัดได้กี่รูปแบบ<br>
+
'''''มีใบหุ้น nใบ แต่ละใบมีมูลค่า a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, …, a<sub>n</sub>  จะจัดแบ่งได้กี่รูปแบบ ?'''''<br>
ถ้ามีใบหุ้น 10 ใบมูลค่าดังนี้ 1, 4, 2, 1, 3, 4, 7, 10, 16 จัดรูปแบบได้ดังนี้<br>
+
เช่น ถ้ามีใบหุ้น 10 ใบมูลค่าดังนี้ 1, 4, 2, 1, 3, 4, 7, 10, 16 จัดรูปแบบได้ดังนี้<br>
 
{|border=1  
 
{|border=1  
 
! || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 || 26 || 27 || 28 || 29 || 30 || 31 || 32 || 33 || 34 || 35 || 36 || 37 || 38 || 39 || 40 || 41 || 42 || 43 || 44 || 45 || 46 || 47  
 
! || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 || 26 || 27 || 28 || 29 || 30 || 31 || 32 || 33 || 34 || 35 || 36 || 37 || 38 || 39 || 40 || 41 || 42 || 43 || 44 || 45 || 46 || 47  
แถว 60: แถว 83:
 
| 16 || x || x || x || x||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x || x||x ||x ||x || x||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x ||x ||x  
 
| 16 || x || x || x || x||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x || x||x ||x ||x || x||x || x||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x ||x || x||x ||x ||x ||x ||x  
 
|}
 
|}
 +
 +
ถ้ามี a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, …, a<sub>i</sub> จะมีวิธีรวมให้ได้มูลค่า x บาทหรือไม่
 +
ให้ B(i,x) แทนจำนวนเงินที่ i รวมได้ x บาท<br>
 +
ถ้าใช้ใบหุ้นที่ a<sub>i</sub> จะได้ B(i-1,x)<br>
 +
ถ้าไม่ใช้ใบหุ้นที่ a<sub>i</sub> จะได้ B(i-1,x- a<sub>i</sub>)<br>
 +
B(i,x)  =  B(i-1,x)  V  B(i-1,x- a<sub>i</sub>)
 +
 +
== '''ปัญหาที่ 5 การตั้งร้านกาแฟ ''' ==
 +
 +
ต้องการตั้งร้านขายกาแฟริมถนนให้ได้มูลค่ารวมสูงสุด โดยไม่สามารถตั้งร้านได้ติดกัน 2 ตำแหน่ง <br>
 +
 +
[[ไฟล์:ex5.jpg]]
 +
 +
ถ้าสถานที่ตั้งร้านมีมูลค่า  b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>, …, b<sub>i</sub>  ตั้งร้านกาแฟได้ตามเงื่อนไขสูงสุดเท่าไร<br>
 +
ให้ V(i)  แทนมูลค่าสูงสุดที่ตั้งร้านตำแหน่งที่ i
 +
 +
V(i) = max
 +
<math>\begin{cases}
 +
    bi+V(i-3)    \\
 +
  V(i-1)       
 +
\end{cases}</math><br>
 +
ถ้ามีมูลค่าร้านแต่ละตำแหน่งคือ 10, 10000, 10, 10, 100, 10000, 10, 10, 5000, 7000, 2000, 5000, 10 นำมาเขียนตารางได้ดังนี้<br>
 +
 +
{|border=1
 +
! i||-2 || -1 || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13
 +
|-
 +
| b||0 || 0 || 0 ||  10 || 10000|| 10|| 10|| 100|| 10000|| 10|| 10|| 5000|| 7000|| 2000|| 5000|| 10
 +
|-
 +
|  || || || ||  0|| 10000|| 10|| 20|| 10100|| 20000|| 10010|| 10110|| 25000|| 27000|| 22000|| 30000|| 27000
 +
|-
 +
|  || ||  ||  || 10 || 10 || 10000 || 10000 || 10000 || 10100 || 20000 || 20000 || 20000 || 25000 || 27000|| 27000 || 30000
 +
|-
 +
| V||0 || 0 || 0 || 10|| 10000|| 10000|| 10000|| 10100|| 20000|| 20000|| 20000|| 25000|| 27000|| 27000|| 30000|| 30000
 +
|}
 +
<br>
 +
จะได้มูลค่าตั้งร้านรวมสูงสุดคือ 30000 และถ้าต้องการทราบว่าตำแหน่งไหนบ้างที่ต้องเปิดร้านก็เพิ่มการเก็บตำแหน่งไว้
 +
 +
== '''ปัญหาที่ 6 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด (Longest Increasing Subsequence)''' ==
 +
 +
มีลำดับ a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>, …, a<sub>i</sub> ต้องการหาลำดับย่อยที่เพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดที่สิ้นสุดที่ a<sub>i</sub> ยาวเท่าไร<br>
 +
ตัวอย่าง 1,2,2,3,4 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดคือ 1,2,3,4 ความยาว 4 <br>
 +
ให้ L(i) แทนความยาวของลำดับเพิ่มขึ้นที่สิ้นสุดที่ a<sub>i</sub> <br>
 +
จะได้ว่า L(i)  =  1 + max(L(j)) เมื่อ j<i และ a<sub>j</sub><a<sub>i</sub><br>
 +
 +
== '''ปัญหาที่ 7 ลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (Longest Common Subsequence)''' ==
 +
 +
มี string 2 string ต้องการหา substring ที่ร่วมที่ยาวที่สุด เช่น
 +
S = WELCOMEGOOD
 +
T = WELOVEFOOD
 +
 +
[[ไฟล์:ex6.jpg]]
 +
 +
จะมี substring ที่ยาวที่สุดคือ WELOEOOD ความยาว 8<br>
 +
ให้ A(i,j) เป็นความยาว substring ร่วมที่ยาวที่สุดตำแหน่ง  S<sub>i</sub> และ T<sub>j</sub><br>
 +
สร้าง recurrence  ดังนี้ <br>
 +
A(i,j)  =  max 
 +
<math>\begin{cases}
 +
    1+A(i-1,j-1) ; S[i] = T[j]    \\
 +
  A(i-1,j)  ; S[i] = T[j-1]\\
 +
    A(i,j-1)  ;  S[i-1] = T[j]
 +
\end{cases}</math>

รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 16:33, 11 ตุลาคม 2553

จดบันทึกคำบรรยายโดย:

  นายธนพล พุฒธรรม        5214550103 
นายประธาน สมบูรณ์ 5214550189
นายพีรพล บุญธกานนท์ 5214550197
นายเมธา จึงประเสริฐ 5214550227

Dynamic Programming

ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน

Ex1.jpg

จากรูป แต่ละ node มีคะแนนอยู่ ต้องเริ่มจาก start ไปยัง end จะวิ่งทางไหนให้ได้คะแนนรวมสูงสุด ?
วิธีการพื้นฐานในการหาคำตอบ คือ ลองทุกทาง แล้วหาเส้นทางที่ได้ผลรวมคะแนนมากที่สุด จากความสูง k จะใช้เวลา O(2k) ซึ่งใช้เวลาในการหาคำตอบที่นานมาก

พิจารณาปัญหาแบบ bottom-up ดูจากโหนดที่ 1 -> 2 -> … -> n ที่โหนด 2 และ โหนด 3 การจะไปที่โหนด 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่า

พิจารณาปัญหาแบบ top-down ดูจากโหนดที่ n -> (n-1) -> … -> 1 สังเกตโหนดที่ 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่าจาก 2 เส้นทางคือโหนด 2 หรือโหนด 3

ปัญหาที่ 2 วิธีการเดินทาง

Ex2.jpg

วิธีเดินทางจากโหนด A ไปยังโหนด B ไปได้กี่วิธี ?

วิธีที่ง่ายสุดนับทุกเส้นทางจากโหนด A ไปยังโหนด B จากรูปมีเส้นเชื่อมโหนดครบทุกเส้นทำให้สามารถคำนวณได้เลยไม่ต้องนับ จะได้ หรือ จะได้ 56 วิธี

Ex2 1.jpg

จากรูป ด้านบนถ้าเส้นเชื่อมไม่ครบทุกโหนดการคำนวณทำได้ยาก การจะนับทีละเส้นทางจาก A -> B ใช้เวลานาน ถ้าพิจารณาจากโหนด B ย้อนกลับขึ้นไป การจะรู้ค่าที่โหนด B ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้า โหนดก่อนหน้าก็ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้าถัดไปอีกเรื่อยๆ จนถึงโหนด A ดังนั้นถ้ามีการบันทึกค่าที่โหนดปัจจุบันไว้จะทำให้โหนดถัดมาใช้ค่าได้เลยไม่ต้องเริ่มใหม่ทำให้หาวิธีเดินทางได้ 20 วิธีดังนี้

Ex2 2.jpg

ปัญหาที่ 3 ปัญหาการขึ้นบันได

มีบันได n ขั้น มีวิธีการเดินขึ้นบันไดได้กี่แบบ ?

1) พิจารณาจากข้างบนลงมาข้างล่าง (Top down) จะมองได้ง่ายกว่า โดยจากขั้นที่ n จำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดมาขั้นที่ n ต้องรู้รูปแบบการขึ้น 2 ขั้นก่อนหน้า (ขั้นที่ n-1 และ n-2) ถ้าให้ F(n) แทนจำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดขั้นที่ n จะได้ว่า

          F(n) = F(n-1) + F(n-2)

การหาด้วยวิธีการนี้จะรันช้ามากเพราะ F(n) โตแบบ Exponential เช่น อยากรู้ F(7) ต้องหา F(6) และ F(5)

Ex3 1.jpg Ex3 2.jpg

2) พิจารณาจากข้างล่างขึ้นบน (Buttom up)

  ที่ 0 ขั้น เดินได้กี่แบบ
  ที่ 1 ขั้น เดินได้กี่แบบ
  .
  .
  .
  ที่ n ขั้น เดินได้กี่แบบ

Ex3 4.jpg

การหาด้วยวิธีการนี้จะรันได้เร็วมาก เพราะการหาค่า F(7) ก็นำเอา F(6) + F(5) = F(7) ดังนั้น การหา F(n) จะใช้เวลา O(n) ซึ่งลำดับแบบนี้จะเรียกว่า "ลำดับฟีโบนักชี"

ปัญหาที่ 4 การแบ่งหุ้น

มีใบหุ้น nใบ แต่ละใบมีมูลค่า a1, a2, a3, …, an จะจัดแบ่งได้กี่รูปแบบ ?
เช่น ถ้ามีใบหุ้น 10 ใบมูลค่าดังนี้ 1, 4, 2, 1, 3, 4, 7, 10, 16 จัดรูปแบบได้ดังนี้

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
0 x
1 x x
4 x x x x
2 x x x x x x x
1 x x x x x x x x
3 x x x x x x x x x x x
4 x x x x x x x x x x x x x x x
7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
16 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

ถ้ามี a1, a2, a3, …, ai จะมีวิธีรวมให้ได้มูลค่า x บาทหรือไม่ ให้ B(i,x) แทนจำนวนเงินที่ i รวมได้ x บาท
ถ้าใช้ใบหุ้นที่ ai จะได้ B(i-1,x)
ถ้าไม่ใช้ใบหุ้นที่ ai จะได้ B(i-1,x- ai)
B(i,x) = B(i-1,x) V B(i-1,x- ai)

ปัญหาที่ 5 การตั้งร้านกาแฟ

ต้องการตั้งร้านขายกาแฟริมถนนให้ได้มูลค่ารวมสูงสุด โดยไม่สามารถตั้งร้านได้ติดกัน 2 ตำแหน่ง

Ex5.jpg

ถ้าสถานที่ตั้งร้านมีมูลค่า b1, b2, b3, …, bi ตั้งร้านกาแฟได้ตามเงื่อนไขสูงสุดเท่าไร
ให้ V(i) แทนมูลค่าสูงสุดที่ตั้งร้านตำแหน่งที่ i

V(i) = max
ถ้ามีมูลค่าร้านแต่ละตำแหน่งคือ 10, 10000, 10, 10, 100, 10000, 10, 10, 5000, 7000, 2000, 5000, 10 นำมาเขียนตารางได้ดังนี้

i -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
b 0 0 0 10 10000 10 10 100 10000 10 10 5000 7000 2000 5000 10
0 10000 10 20 10100 20000 10010 10110 25000 27000 22000 30000 27000
10 10 10000 10000 10000 10100 20000 20000 20000 25000 27000 27000 30000
V 0 0 0 10 10000 10000 10000 10100 20000 20000 20000 25000 27000 27000 30000 30000


จะได้มูลค่าตั้งร้านรวมสูงสุดคือ 30000 และถ้าต้องการทราบว่าตำแหน่งไหนบ้างที่ต้องเปิดร้านก็เพิ่มการเก็บตำแหน่งไว้

ปัญหาที่ 6 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด (Longest Increasing Subsequence)

มีลำดับ a1, a2, a3, …, ai ต้องการหาลำดับย่อยที่เพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดที่สิ้นสุดที่ ai ยาวเท่าไร
ตัวอย่าง 1,2,2,3,4 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดคือ 1,2,3,4 ความยาว 4
ให้ L(i) แทนความยาวของลำดับเพิ่มขึ้นที่สิ้นสุดที่ ai
จะได้ว่า L(i) = 1 + max(L(j)) เมื่อ j<i และ aj<ai

ปัญหาที่ 7 ลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (Longest Common Subsequence)

มี string 2 string ต้องการหา substring ที่ร่วมที่ยาวที่สุด เช่น S = WELCOMEGOOD T = WELOVEFOOD

Ex6.jpg

จะมี substring ที่ยาวที่สุดคือ WELOEOOD ความยาว 8
ให้ A(i,j) เป็นความยาว substring ร่วมที่ยาวที่สุดตำแหน่ง Si และ Tj
สร้าง recurrence ดังนี้
A(i,j) = max