ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 7"
Aoy (คุย | มีส่วนร่วม) |
Aoy (คุย | มีส่วนร่วม) |
||
| (ไม่แสดง 1 รุ่นระหว่างกลางโดยผู้ใช้คนเดียวกัน) | |||
| แถว 1: | แถว 1: | ||
== ข้อย่อย 1 == | == ข้อย่อย 1 == | ||
| + | จากวิธีการสร้างสับเซต X ที่ในการโยนเหรียญครั้งที่ i ถ้าเหรียญออกหัว จะให้เลข i เป็นสมาชิกของ X ถ้าออกก้อยจะไม่ให้เป็นสมาชิกของ X | ||
| + | |||
| + | เนื่องจากเหรียญเป็นเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวจะเท่ากับออกก้อยคือ 1/2 | ||
| + | |||
| + | ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เลข i จะเป็นสมาชิกของ X จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่เลข i ไม่เป็นสมาชิกของ X ซึ่งเท่ากับ 1/2 | ||
| + | |||
| + | เนื่องจากการโยนเหรียญในแต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สับเซตทุกสับเซตจะเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการนี้มีค่าเท่ากันคือ <math>\frac {1}{2^n}</math> | ||
== ข้อย่อย 2 == | == ข้อย่อย 2 == | ||
| แถว 16: | แถว 23: | ||
ดังนั้น <math>Pr(X \subseteq Y)=\frac {3^n}{2^{2n}}</math> | ดังนั้น <math>Pr(X \subseteq Y)=\frac {3^n}{2^{2n}}</math> | ||
| − | ส่วน <math>Pr(X \cup Y={1,2,..,n})</math> พิจารณาได้ดังนี้ เนื่องจาก <math>X \cup Y={1,2,..,n}</math> จะได้ว่า | + | ส่วน <math>Pr(X \cup Y=\{1,2,..,n\})</math> พิจารณาได้ดังนี้ เนื่องจาก <math>X \cup Y=\{1,2,..,n\}</math> จะได้ว่า |
| − | + | เมื่อพิจารณาสมาชิกตัวที่ i ที่ i มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง n ถ้าสมาชิกตัวที่ i นี้ใน X โยนเหรียญแล้วได้ก้อย ต้องโยนเหรียญแล้วได้หัวใน Y | |
| − | หรือ ถ้าโยนเหรียญแล้วได้ก้อยใน Y ต้องโยนเหรียญแล้วได้หัวใน X | + | หรือ ถ้าโยนเหรียญแล้วได้ก้อยใน Y ต้องโยนเหรียญแล้วได้หัวใน X (ต้องมีสมาชิกตัวนี้ในเซต X หรือ Y) |
| − | แต่ถ้าโยนเหรียญแล้วได้หัวใน X หรือ Y จะโยนเหรียญแล้วได้หัวหรือก้อยก็ได้ใน Y และ X | + | แต่ถ้าโยนเหรียญแล้วได้หัวใน X หรือ Y จะโยนเหรียญแล้วได้หัวหรือก้อยก็ได้ใน Y และ X (หรือจะมีสมาชิกตัวนี้ในทั้งสองเซตเลยก็ได้) |
X: T H H | X: T H H | ||
รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 18:36, 3 สิงหาคม 2552
ข้อย่อย 1
จากวิธีการสร้างสับเซต X ที่ในการโยนเหรียญครั้งที่ i ถ้าเหรียญออกหัว จะให้เลข i เป็นสมาชิกของ X ถ้าออกก้อยจะไม่ให้เป็นสมาชิกของ X
เนื่องจากเหรียญเป็นเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวจะเท่ากับออกก้อยคือ 1/2
ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เลข i จะเป็นสมาชิกของ X จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่เลข i ไม่เป็นสมาชิกของ X ซึ่งเท่ากับ 1/2
เนื่องจากการโยนเหรียญในแต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สับเซตทุกสับเซตจะเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการนี้มีค่าเท่ากันคือ
ข้อย่อย 2
พิจารณาสมาชิกของสับเซต X และ Y ไปพร้อม ๆ กันทีละตัว เนื่องจาก จะได้ว่า
ถ้าสมาชิกตัวที่ i ของ X (เมื่อ i มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง n) โยนเหรียญได้หัว สมาชิกตัวนี้ใน Y ก็ต้องได้หัวด้วย (สมาชิกตัวนี้อยู่ใน X แล้วต้องอยู่ใน Y ด้วย)
แต่ถ้าสมาชิกตัวที่ i ของ X โยนเหรียญได้ก้อย สมาชิกตัวนี้ใน Y อาจได้ก้อยหรือหัวก็ได้
ฉะนั้นอาจเขียนเหตุการณ์ที่ ด้วยวิธีการสร้างดังกล่าวได้เป็น 3 แบบ คือ
X: H T T
Y: H T H
ดังนั้น
ส่วน พิจารณาได้ดังนี้ เนื่องจาก จะได้ว่า
เมื่อพิจารณาสมาชิกตัวที่ i ที่ i มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง n ถ้าสมาชิกตัวที่ i นี้ใน X โยนเหรียญแล้วได้ก้อย ต้องโยนเหรียญแล้วได้หัวใน Y
หรือ ถ้าโยนเหรียญแล้วได้ก้อยใน Y ต้องโยนเหรียญแล้วได้หัวใน X (ต้องมีสมาชิกตัวนี้ในเซต X หรือ Y)
แต่ถ้าโยนเหรียญแล้วได้หัวใน X หรือ Y จะโยนเหรียญแล้วได้หัวหรือก้อยก็ได้ใน Y และ X (หรือจะมีสมาชิกตัวนี้ในทั้งสองเซตเลยก็ได้)
X: T H H Y: H T H
ดังนั้น เหมือนกัน
