ตอนที่ 2: เจ้าเมืองจอมขี้เกียจ

เกริ่น

มีเจ้าเมืองแห่งหนึ่ง นามว่าดนุพล มีนิสัยค่อนข้างเกียจคร้านและแปลกประหลาดยิ่งนัก เจ้าเมืองไม่ชอบให้บ้านในเมืองอยู่ห่างกันเกินไป จึงสั่งว่าให้ทุกบ้านในเมืองสร้างบ้านให้ระยะทางระหว่างสองบ้านใดๆเป็น 1 หรือ 2 เท่านั้น หากใครทำผิดกฎจะต้องโดนลงโทษอย่างรุนแรง ที่ต้องให้เป็นแค่สองค่า เพื่อที่จะให้ง่ายต่อเจ้าเมืองในการทำแผนที่ และการจำระยะทางระหว่างคู่บ้าน

นักคณิตศาสตร์ผู้หนึ่งมีไหวพริบเป็นเลิศจึงออกมาท้วงว่า หากเจ้าเมืองทำเช่นนั้น จำนวนบ้านที่สร้างได้จะไม่เกิน 8-9 หลังเท่านั้น หรืออาจจะน้อยกว่านั้น เจ้าเมืองรู้สึกเคืองเป็นอย่้างมากที่โดนขัดใจ จึงให้นักคณิตศาสตร์อธิบายว่า้เพราะอะไร

ปัญหา

พิจารณาปัญหาทั่วไปในปริภูมิ n มิติ $R^{n}$ ต้องการวางจุดลงไป m จุด $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m}$ โดยที่มีเงื่อนไขดังนี้

$||a_{i}-a_{j}||=d_{1}$ or $d_{2}$ สำหรับทุกๆคู่จุด i,j

ให้หาค่า m ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้

ก่อนอื่นลองมาดูกรณีง่ายกว่านี้กันก่อน ถ้าให้ระยะทางที่เป็นไปได้มีเพียงแบบเดียว สังเกตว่าเราจะได้

$m\leq n+1$

โดยที่กรณีที่ใส่จุดไปได้มากที่สุดคือ วางจุดลงไปบนจุดยอดของ regular simplex (ผู้อ่านลองคิดดู)

ทีนี้ลองกลับมาดูปัญหาของเรากันบ้าง หากระยะทางที่เป็นไปได้มีสองค่า วิธีที่ดีที่สุดจะไม่ชัดเจนเหมือนกับกรณีที่มีระยะทางค่าเดียวอีกต่อไป ความเป็นไปได้จะเพิ่มขึ้นอย่างมาก ก่อนจะอ่านเฉลย ผู้อ่านลองเดากันดูว่าคำตอบของ m ที่ดีที่สุดควรเป็นเท่าใด

วิธีทำ

ปัญหานี้สามารถแก้ได้ในหลายๆทาง วิธีที่จะนำเสนอในที่นี้เป็นวิธีที่แสดงให้เห็นถึงการเชื่อมต่อของสองสิ่งที่ไม่น่าจะเข้ามาเกี่ยวข้องกันได้ (สิ่งนี้เป็นสิ่งที่มักจะเกิดขึ้นบ่อยๆในสาขาคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นสาขาที่ไม่มีที่สิ้นสุด) หากอ่านโจทย์ดูคร่าวๆแล้ว ปัญหานี้เป็นปัญหาของ Geometry แต่วิธีที่จะนำเสนอนั้นแทบไม่เกี่ยวกับ Geometry เลยแม้แต่น้อย เราจะพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1: ค่าของ m ที่มากทีุ่สุดจะไม่เกิน $(n+1)(n+4)/2$

บทพิสูจน์: พิจารณาจุดสองจุด $x,y\in R^{n}$ นิยามพหุนามหลายตัวแปร F ดังนี้

F(x,y) = (||x-y||^2 - d_1^2) (||x-y||^2 -d_2^2)

สังเกตว่าพหุนามมีคุณสมบัติคือ