204512-53/lecture10

Dynamic Programming

ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน

จากรูปแต่ละ node มีคะแนนอยู่ ต้องเริ่มจาก start ไปยัง end ให้ได้คะแนนรวมสูงสุดจะทำอย่างไร
วิธีการที่ง่ายที่สุดคือคำนวณผลรวมจากทุกเส้นทางแล้วหาเส้นทางที่มากที่สุด จากความสูง k จะใช้เวลา O(2^k)

พิจารณาปัญหาแบบ bottom-up ดูจากโหนดที่ 1 -> 2 -> … -> n ที่โหนด 2 และ โหนด 3 การจะไปที่โหนด 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่า

พิจารณาปัญหาแบบ top-down ดูจากโหนดที่ n -> (n-1) -> … -> 1 สังเกตโหนดที่ 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่าจาก 2 เส้นทางคือโหนด 2 หรือโหนด 3

ปัญหาที่ 2 วิธีการเดินทาง

วิธีเดินทางจากโหนด A ไปยังโหนด B ไปได้กี่วิธี

วิธีที่ง่ายสุดนับทุกเส้นทางจากโหนด A ไปยังโหนด B จากรูปมีเส้นเชื่อมโหนดครบทุกเส้นทำให้สามารถคำนวณได้เลยไม่ต้องนับ จะได้ ${\binom {8}{5}}$ หรือ ${\binom {8}{3}}$ จะได้ 56 วิธี

จากรูปด้านบนถ้าเส้นเชื่อมไม่ครบทุกโหนดการคำนวณทำได้ยาก การจะนับทีละเส้นทางจาก A -> B ใช้เวลานาน ถ้าพิจารณาจากโหนด B ย้อนกลับขึ้นไป การจะรู้ค่าที่โหนด B ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้า โหนดก่อนหน้าก็ต้องรู้ค่าของโหนดก่อนหน้าถัดไปอีกเรื่อยๆ จนถึงโหนด A ดังนั้นถ้ามีการบันทึกค่าที่โหนดปัจจุบันไว้จะทำให้โหนดถัดมาค่าได้เลยไม่ต้องเริ่มใหม่ทำให้หาวิธีเดินทางได้ 20 วิธีดังนี้

ปัญหาที่ 3 ปัญหาการขึ้นบันได

มีบันได n ขั้น มีวิธีการเดินขึ้น 2 วิธี คือ เดินขึ้นทีละขั้น หรือเดินขึ้นทีละ 2 ขั้น จะมีรูปแบบในการขึ้นไปถึงขั้นที่ n กี่รูปแบบ

พิจารณาจากขั้นที่ n จำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดมาขั้นที่ n ต้องรู้รูปแบบการขึ้น 2 ขั้นก่อนหน้า (ขั้นที่ n-1 และ n-2) ถ้าให้ F(n) แทนจำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดขั้นที่ n จะได้ว่า F(n) = F(n-1)+F(n-2)

ปัญหาที่ 4 การแบ่งหุ้น

มีใบหุ้น nใบ แต่ละใบมีมูลค่า a₁, a₂, a₃, …, a_n จะจัดได้กี่รูปแบบ
ถ้ามีใบหุ้น 10 ใบมูลค่าดังนี้ 1, 4, 2, 1, 3, 4, 7, 10, 16 จัดรูปแบบได้ดังนี้

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47
0	x
1	x	x
4	x	x			x	x
2	x	x	x	x	x	x	x
1	x	x	x	x	x	x	x	x
3	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
4	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
7	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
10	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x
16	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x	x

ถ้ามี a₁, a₂, a₃, …, a_i จะมีวิธีรวมให้ได้มูลค่า x บาทหรือไม่ ให้ B(i,x) แทนจำนวนเงินที่ i รวมได้ x บาท
ถ้าใช้ใบหุ้นที่ a_i จะได้ B(i-1,x)
ถ้าไม่ใช้ใบหุ้นที่ a_i จะได้ B(i-1,x- a_i)
B(i,x) = B(i-1,x) V B(i-1,x- a_i)

ปัญหาที่ 5 การตั้งร้านกาแฟ

ต้องการตั้งร้านขายกาแฟริมถนนให้ได้มูลค่ารวมสูงสุด โดยไม่สามารถตั้งร้านได้ติดกัน 2 ตำแหน่ง

ถ้าสถานที่ตั้งร้านมีมูลค่า b₁, b₂, b₃, …, b_i ตั้งร้านกาแฟได้ตามเงื่อนไขสูงสุดเท่าไร
ให้ V(i) แทนมูลค่าสูงสุดที่ตั้งร้านตำแหน่งที่ i

V(i) = max ${\begin{cases}bi+V(i-3)\\V(i-1)\end{cases}}$
ถ้ามีมูลค่าร้านแต่ละตำแหน่งคือ 10, 10000, 10, 10, 100, 10000, 10, 10, 5000, 7000, 2000, 5000, 10 นำมาเขียนตารางได้ดังนี้

i	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
b	0	0	0	10	10000	10	10	100	10000	10	10	5000	7000	2000	5000	10
				0	10000	10	20	10100	20000	10010	10110	25000	27000	22000	30000	27000
				10	10	10000	10000	10000	10100	20000	20000	20000	25000	27000	27000	30000
V	0	0	0	10	10000	10000	10000	10100	20000	20000	20000	25000	27000	27000	30000	30000

จะได้มูลค่าตั้งร้านรวมสูงสุดคือ 30000 และถ้าต้องการทราบว่าตำแหน่งไหนบ้างที่ต้องเปิดร้านก็เพิ่มการเก็บตำแหน่งไว้

ปัญหาที่ 5 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด (Longest Increasing Subsequence)

มีลำดับ a₁, a₂, a₃, …, a_i ต้องการหาลำดับย่อยที่เพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดที่สิ้นสุดที่ a_i ยาวเท่าไร
ตัวอย่าง 1,2,2,3,4 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดคือ 1,2,3,4 ความยาว 4
ให้ L(i) แทนความยาวของลำดับเพิ่มขึ้นที่สิ้นสุดที่ a_i
จะได้ว่า L(i) = 1 + max(L(j)) เมื่อ j<i และ a_j<a_i

ปัญหาที่ 6 ลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (Longest Common Subsequence)

มี string 2 string ต้องการหา substring ที่ร่วมที่ยาวที่สุด เช่น S = WELCOMEGOOD T = WELOVEFOOD

จะมี substring ที่ยาวที่สุดคือ WELOEOOD ความยาว 8
ให้ A(i,j) เป็นความยาว substring ร่วมที่ยาวที่สุดตำแหน่ง S_i และ T_j
สร้าง recurrence ดังนี้
A(i,j) = max ${\begin{cases}1+A(i-1,j-1);S[i]=T[j]\\A(i-1,j);S[i]=T[j-1]\\A(i,j-1);S[i-1]=T[j]\end{cases}}$