204512/บรรยาย 1

การบรรยายครั้งแรกจะเป็นการแนะนำวิชา และแสดงตัวอย่างการพิสูจน์ที่น่าสนใจ โดยมีเป้าหมายเพื่อที่จะพัฒนาระบบการกระจายความลับ (secret sharing)

คณิตศาสตร์มอดุโล

Definition 1: จะกล่าวว่าจำนวนเต็ม a หารจำนวนเต็ม b ลงตัว ถ้ามีจำนวนเต็ม k ที่ ak = b เขียนแทนด้วย a|b

นิยาม : จำนวนเต็มบวก p ที่ p > 1 และมีตัวประกอบสองจำนวนคือ 1 และตัวมันเองเรียกว่า จำนวนเฉพาะ

นิยาม : a mod b = r เมื่อ 0 <= r < b ถ้ามีจำนวนเต็ม k ที่ bk+r = a

ตัวอย่าง

10mod3 =1

-10 mod 3 =2 ; 3(-4)+2 = -10

นิยาม : a \eqv b (mod m) ถ้า a mod m = b mod m

proposition 1: ถ้า a \eqv b (mod m)

iff m|a-b

Proof: p<=>q \eqv (p=>q)and(q=>p)

(~p=>~q)

(=>)

(<=)

เนื่องจาก m|a-b เราจะได้ว่ามีจำนวนเต็ม k ที่

mk = a-b

b = a -mk

b mod m = a mod m - mk mod m

b mod m = a mod m

Propostition : ถ้า a \eqv b (mod m ) และ c \eqv d(mod m) แล้ว

1. a+c \eqv b+d (mod m)

2. ac \eqv bd (mod m)

3. a-c \eqv b-d (mod m)

proof : a \eqv b (mod m)=> m|a-b \

> m|(a+c)-(b+d) => a+c \eqv b+d (mod m)

          c \eqv d (mod m)=> m|c-d /

ac \eqv ad (mod m) => c \eqv d (mod m)

นิยาม: สำหรับถ้า ab \eqv 1 (mod m) จะเรียก b ว่าเป็น mutiplicative inverse modulo m ของ a^-1

เช่น

3*3 \eqv 1 (mod 4)

3 = 3^-1 (mod 4)

(mod4)

2/3 = 7

x*3 \eqv 2 (mod 4)

x*3*\inv 3 \eqv 2*\inv 3 (mod 4)

x \eqv 2*3 = 6 =2 (mod 4)

(mod 7)

2/3 = 7

\inv 3 (mod 7) \eqv 5 (mod 7)

x \eqv 2*5 \eqv 10 \eqv 3 (mod 7)

ถ้ามี inverse สามารถหาผลหารได้โดยเอา inverse ไปคูณ

4/3 = 4* \inv 3 (mod m)

$a\equiv b{\pmod {m}}$

ตัวอย่าง ๆ $x^{2}+{\frac {y}{m^{n}}}$