คณิตศาสตร์แบบเวคเตอร์ใน VPython

วิกินี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชา 01204223

เนื้อหาในวิกินี้ดัดแปลงมาจากกิจกรรมประกอบหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม เทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร ภาษาไพทอน โดยสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

โมดูล visual ในไลบรารี VPython รองรับการประมวลผลทางคณิตศาสตร์เชิงเวคเตอร์โดยเตรียมคลาสชื่อ vector เพื่อใช้สร้างปริมาณเวกเตอร์ตั้งแต่หนึ่งถึงสามมิติ ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการนิยามเวกเตอร์ ${\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}}$ และเวกเตอร์ ${\begin{bmatrix}3\\-4\end{bmatrix}}$ ไว้ในตัวแปร u และ v ตามลำดับ

>>> from visual import vector
>>> u = vector(2,3)
>>> v = vector(3,-4)
>>> print(u,v)
<2, 3, 0> <3, -4, 0>

จะเห็นว่าเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นมีขนาด 3 มิติ อย่างไรก็ตามกิจกรรมนี้จะสนใจเพียงสองมิติแรก ซึ่งหากไม่สนใจมิติที่สามแล้วค่าของ u และ v ข้างต้นจะสอดคล้องกับแผนภาพดังนี้

ปริมาณในแต่ละมิติของเวกเตอร์สามารถอ้างถึงผ่านคุณลักษณะชื่อ x และ y ของเวกเตอร์นั้น ๆ และยังอ้างอิงตามรูปแบบลิสต์ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น

>>> v = vector(2,3)
>>> print(v.x,v.y)
2.0 3.0
>>> print(v[0],v[1])
2.0 3.0
>>> v.x = -8.5
>>> print(v)
<-8.5, 3, 0>

การบวกและลบเวกเตอร์

เนื่องจากภาษาไพทอนรองรับการทำ Operator Overloading ข้อมูลชนิดเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นจากคลาส vector ของ VPython สามารถนำมาประมวลผลด้วยตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ + และ – ได้ทันที ดังตัวอย่าง

>>> from visual import vector
>>> u = vector(2,3)
>>> v = vector(3,-4)
>>> w1 = u+v
>>> w2 = u-v
>>> print(w1,w2)
<5, -1, 0> <-1, 7, 0>

ซึ่งสอดคล้องกับแผนภาพ

การคูณและหารเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

ปริมาณเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นสามารถนำมาคูณหรือหารด้วยปริมาณสเกลาร์ผ่านตัวดำเนินการ * และ /

>>> w3 = u*2
>>> w4 = v/2
>>> print(w3)
<4, 6, 0>
>>> print(w4)
<1.5, -2, 0>

ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ใหม่ที่ขนาดเปลี่ยนไปแต่ยังคงทิศทางเดิม ดังแผนภาพ

ขนาดของเวกเตอร์

เวกเตอร์ 2 มิติ $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ มีขนาด (หรือความยาว) ตามทฤษฎีของปีทาโกรัสดังนี้

$||\mathbf {v} ||={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

ขนาดของเวกเตอร์คำนวณได้จากฟังก์ชัน mag() ในโมดูล visual ดังตัวอย่าง

>>> from visual import vector,mag
>>> v = vector(3,4)
>>> print(mag(v))
5.0

ดังนั้นสำหรับเวกเตอร์ใด ๆ ที่ขนาดไม่เป็นศูนย์ เราสามารถสร้างเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ชี้ไปทางเดียวกับเวกเตอร์นั้น โดยการหารเวกเตอร์นั้นด้วยขนาดของตัวเอง ดังตัวอย่าง

>>> u = v/mag(v)
>>> print(u)
<0.6, 0.8, 0>
>>> print(mag(u))
1.0

การประยุกต์ใช้กฎการเคลื่อนที่เพื่อจำลองการเคลื่อนไหวของวัตถุ

กฎการเคลื่อนที่พื้นฐานกล่าวไว้ว่าสำหรับวัตถุใด ๆ แล้ว ความเร็วของวัตถุ $\mathbf {v} (t)$ และตำแหน่งของวัตถุ $\mathbf {s} (t)$ มีความสัมพันธ์ตามสมการ

$\mathbf {v} (t)={\frac {\Delta \mathbf {s} (t)}{\Delta t}}={\frac {\mathbf {s} (t+\Delta t)-\mathbf {s} (t)}{\Delta t}}$

ในกรณีที่ $\Delta t$ มีค่าน้อย หรือ $\mathbf {v} (t)$ มีค่าคงที่ ซึ่งจะได้ว่า

$\mathbf {s} (t+\Delta t)=\mathbf {s} (t)+\mathbf {v} (t)\Delta t$

ในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่ง $\mathbf {a} (t)$ และความเร็ว $\mathbf {v} (t)$ สามารถเขียนในรูป

$\mathbf {v} (t+\Delta t)=\mathbf {v} (t)+\mathbf {a} (t)\Delta t$

ตัวอย่างสคริปต์ด้านล่างแสดงการคำนวณความเร็วและตำแหน่งของวัตถุโดยใช้สมการการเคลื่อนที่ข้างต้นมาประมวลผลด้วยคณิตศาสตร์แบบเวกเตอร์ จากนั้นนำมาสร้างเป็นภาพเคลื่อนไหวด้วย VPython ได้ดังนี้

# set encoding=utf8
import visual as vis

DELTA_T = 0.05

scene = vis.display(width=500,height=500)
scene.range = 100

# สร้างลูกบอลสีเหลืองรัศมี 5 หน่วยไว้ที่พิกัด (20,30)
ball = vis.sphere(pos=(-50,-50),radius=5,color=vis.color.yellow,make_trail=True)

ball.vel = vis.vector(20,30)   # กำหนดความเร็วต้นของลูกบอล
ball.acc = vis.vector(0,-9.8)  # กำหนดความเร่งของลูกบอลตามแรงโน้มถ่วงของโลก

# เตรียมลูกศรเพื่อแสดงทิศทางและขนาดของความเร็วปัจจุบันของลูกบอล
arrow = vis.arrow(shaftwidth=1)

# เตรียมป้ายข้อความเพื่อใช้แสดงผลเวลาปัจจุบัน
txt = vis.label(pos=(5,90))
txt.time = 0.0

while True:
    vis.rate(30)  # หน่วงเวลาให้แอนิเมชันอัพเดตไม่เกิน 30 ครั้งต่อวินาที
    ball.vel += ball.acc*DELTA_T   # คำนวณความเร็วใหม่จากความเร่งปัจจุบัน
    ball.pos += ball.vel*DELTA_T   # คำนวณตำแหน่งใหม่จากความเร็วปัจจุบัน
    arrow.pos = ball.pos
    arrow.axis = ball.vel    # ลากลูกศรแสดงทิศทางและขนาดของความเร็ว
    txt.time += DELTA_T
    txt.text = 'Time: %.2f s' % txt.time

ทดลองรันสคริปต์ข้างต้นควรเห็นผลลัพธ์ดังภาพ