418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II

ข้อ 1

จงใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์แก้ปัญหาต่อไปนี้

1. จงหาสูตรอย่างง่ายของ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$ และพิสูจน์ว่ามันถูกต้อง
2. จงหาสูตรอย่างง่ายของ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}$ และพิสูจน์ว่ามันถูกต้อง
3. จงแสดงว่า $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots +(2n+1)^{2}=(n+1)(2n+1)(2n+3)/3$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
4. จงแสดงว่า $2^{n}>n^{2}$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4
5. จงแสดงว่า $1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}<2-{\frac {1}{n}}$ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 1
6. จงแสดงว่า 6 หาร $n^{3}-n$ ลงตัวเมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ
7. ให้ $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots ,A_{n}$ และ $B_{1},B_{2},B_{n},\ldots ,B_{n}$ โดยที่ $A_{i}\subseteq B_{i}$ สำหรับ $i=1,2,3,\ldots ,n$ จงพิสูจน์ว่า $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\subseteq \bigcap _{i=1}^{n}B_{n}$
8. จงแสดงว่า $1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+3\cdot 2^{2}+\cdots +n\cdot 2^{n-1}=(n-1)2^{n}+1$