|
|
| แถว 1: |
แถว 1: |
| − | == '''204512-53/lecture12''' ==
| |
| − | '''จดบันทึกคำบรรยายโดย:'''
| |
| − | นายชัชพล นุโยค รหัส 5214550049
| |
| − | นายสุรเดช วัฒนอุดมโรจน์ รหัส 5214550324
| |
| | | | |
| − | ----
| |
| − |
| |
| − | ''' NP Completeness '''
| |
| − |
| |
| − | ----
| |
| − | NP: Non-deterministic Polynomial time คือ เซตของ Algorithm ที่ไม่สามารถแก้ไขปัญหาได้ในเวลาที่เป็น polynomial โดยการนิยามเซตของปัญหาเพื่อประโยชน์ในการเปรียบเทียบระดับความยาก-ง่ายของ Algorithm ซึ่งเซตของปัญหาสามารถแบ่งเป็นเซต P, NP, NP-hard และ NP-complete
| |
| − |
| |
| − | ในการเปรียบเทียบ Algorithm ใดๆ เราจะทำการพิจารณา Algorithm ว่าจัดอยู่ในเซตของปัญหาใด โดยใช้เทคนิคการลดรูปของปัญหา (Reduction) ว่าเป็นกลุ่มเดียวกับปัญหาที่อยู่ในเซตหรือไม่ ถ้าอยู่ในกลุ่มเดียวกันจะกล่าวว่า Algorithm มีความยากเท่ากัน ความยาก คือ มี Algorithm ที่มีประสิทธิภาพแก้ไขปัญหาหรือไม่
| |
| − |
| |
| − | ปัญหา A สัมพันธ์ ปัญหา B
| |
| − |
| |
| − | ปัญหา A ไม่ยากไปกว่า ปัญหา B
| |
| − |
| |
| − | ปัญหา A [[ไฟล์:NPComplete7.gif]] ปัญหา B
| |
| − |
| |
| − | โดยมีความหมายว่า ถ้ามี Algorithm ที่สามารถแก้ปัญหา B ได้ ปัญหา A ก็จะสามารถแก้ได้เช่นกัน
| |
| − |
| |
| − | ----
| |
| − |
| |
| − | '''ปัญหาที่ 1''' : Independent Set เป็นปัญหากลุ่ม Decision Problem
| |
| − |
| |
| − | '''นิยาม''' : ให้ Undirected graph G = (V, E) จะกล่าวว่า I [[ไฟล์:NPComplete1.gif]] V เป็น Independent Set ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆโหนด
| |
| − | U,V [[ไฟล์:NPComplete1.gif]] I, U [[ไฟล์:NPComplete5.gif]] V ไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง U และ V
| |
| − |
| |
| − | '''ปัญหา''' : ให้กราฟ G = (V, E) และ integer k, มี Independent set ขนาด ≥ k หรือไม่
| |
| − |
| |
| − | [[ไฟล์:NPComplete8.gif]]
| |
| − |
| |
| − | ในภาพทำการเลือกโหนด (k) เท่ากับ 1 จะกล่าวว่ามี Independent set ขนาด 1
| |
| − |
| |
| − | สามารถนำไปใช้แก้ปัญหา หาคนที่ไม่รู้จักกันในห้อง หรือ การเปิด-ปิดไฟแดงที่แยก
| |
| − |
| |
| − | ----
| |
| − |
| |
| − | '''ปัญหาที่ 2''' : Vertex Cover
| |
| − |
| |
| − | '''นิยาม''' : C [[ไฟล์:NPComplete1.gif]] V เป็น Vertex Cover ก็ต่อเมื่อ [[ไฟล์:NPComplete4.gif]](U,V)[[ไฟล์:NPComplete6.gif]] E,U [[ไฟล์:NPComplete6.gif]] C หรือ V [[ไฟล์:NPComplete6.gif]] C
| |
| − |
| |
| − | '''ปัญหา''' : ให้กราฟ G = (V, E) และ จำนวนเต็ม k ถามว่ามี vertex cover ขนาด ≤ k หรือไม่
| |
| − |
| |
| − | [[ไฟล์:NPComplete9.gif]]
| |
| − |
| |
| − | ----
| |
| − |
| |
| − | ถ้าสมมติให้ Independent Set [[ไฟล์:NPComplete7.gif]] Vertex Cover
| |
| − |
| |
| − | '''Lemma''' : พิจารณาเซต [[ไฟล์:NPComplete1.gif]] ใดๆ ให้ A เป็น imdenpendent set โดย V-A เป็น Vertec Cover
| |
| − |
| |
| − | '''Proof''' : Indenpendent set [[ไฟล์:NPComplete2.gif]]Vertex Cover
| |
| − |
| |
| − | '''นิยาม''' : ปัญหา A เป็น Polynomial time เพื่อลดปัญหา B ถ้ามี Algorithm T ที่ทำงานใน Polynomial time สำหรับทุกๆ instance X ของ A จะได้ T(x) เป็น instance ของ B
| |
| − |
| |
| − | [[ไฟล์:NPComplete3.gif]]
| |
| − |
| |
| − | X' = T(x) เป็น instance ของ B และ |X'| = Poly (|X|)
| |
| − | ถ้า x เป็น instance ตอบ "Yes" ใน A
| |
| − | => x' เป็น instance ตอบ "Yes" ใน B
| |
| − |
| |
| − | ถ้า x เป็น instance ตอบ "No" ใน A
| |
| − | => x' เป็น instance ตอบ "No" ใน B
| |
| − |
| |
| − | '''Lemma''' : ถ้า A [[ไฟล์:NPComplete2.gif]]B และมี Algorithm ที่แก้ปัญหา B ได้ใน Polynomial time จะมี Algorithm ที่แก้ปัญหา A ใน Polynomial time ได้ด้วย
| |
| − |
| |
| − | '''Proof''' : ให้ M เป็น Polynomial time Algorithm ที่แก้ปัญหา B
| |
| − | จะได้ว่า A [[ไฟล์:NPComplete2.gif]] B
| |
| − | นั้นคือ มี Polynomial time Algorithm T ที่ [[ไฟล์:NPComplete4.gif]]instance x ของ A
| |
| − | x' = T(x) มีขนาด poly(|x|) และคำตอบของ x ในปัญหา A ตรงกับของ x' ในปัญหา B
| |
| − |
| |
| − | สำหรับ Algorithm M' ดังนี้
| |
| − |
| |
| − | M'(x) :
| |
| − | x' = T(x)
| |
| − | return M(x')
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | แต่เนื่องจาก |x'| = poly(|x|)
| |
| − | ดังนั้น เวลาในการคำนวณ M(x')คือ poly(|x'|) = poly(poly(|x|)) = poly(|x|)
| |
| − |
| |
| − | จากนิยาม M'(x) เป็นคำตอบของ x ใน A เหลือแต่ต้องตรวจสอบว่า M' ทำงานใน Polynomial time หรือ poly(|x|)
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ----
| |
