204512-53/lecture10

จาก Theory Wiki
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

จดบันทึกคำบรรยายโดย:

  นายธนพล พุฒธรรม        5214550103 
นายประธาน สมบูรณ์ 5214550189
นายพีรพล บุญธกานนท์ 5214550197
นายเมธา จึงประเสริฐ 5214550227

Dynamic Programming

ปัญหาที่ 1 เกมเก็บคะแนน

Ex1.jpg

จากรูปแต่ละ node มีคะแนนอยู่ ต้องเริ่มจาก start ไปยัง end ให้ได้คะแนนรวมสูงสุดจะทำอย่างไร
วิธีการที่ง่ายที่สุดคือคำนวณผลรวมจากทุกเส้นทางแล้วหาเส้นทางที่มากที่สุด จากความสูง k จะใช้เวลา O(2k)

พิจารณาปัญหาแบบ bottom-up ดูจากโหนดที่ 1 -> 2 -> … -> n ที่โหนด 2 และ โหนด 3 การจะไปที่โหนด 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่า

พิจารณาปัญหาแบบ top-down ดูจากโหนดที่ n -> (n-1) -> … -> 1 สังเกตโหนดที่ 5 จะเกิดการทับซ้อนของปัญหา จะต้องการเลือกเส้นทางที่มีคะแนนมากกว่าจาก 2 เส้นทางคือโหนด 2 หรือโหนด 3


ปัญหาที่ 2 วิธีการเดินทาง

Ex2.jpg

วิธีเดินทางจากโหนด A ไปยังโหนด B ไปได้กี่วิธี

วิธีที่ง่ายสุดนับทุกเส้นทางจากโหนด A ไปยังโหนด B จากรูปมีเส้นเชื่อมโหนดครบทุกเส้นทำให้สามารถคำนวณได้เลยไม่ต้องนับ จะได้ หรือ จะได้ 56 วิธี

Ex2 1.jpg

จากรูปด้านบนถ้าเส้นเชื่อมไม่ครบทุกโหนดการคำนวณทำได้ยาก การจะนับทีละเส้นทางจาก A -> B ใช้เวลานาน ถ้าพิจารณาจากโหนด B ย้อนกลับขึ้นไป การจะรู้ค่าที่โหนด B ต้องรู้ค่าของ 2 โหนดก่อนหน้า โหนดก่อนหน้าก็ต้องรู้ค่าของโหนดก่อนหน้าถัดไปอีกเรื่อยๆ จนถึงโหนด A ดังนั้นถ้ามีการบันทึกค่าที่โหนดปัจจุบันไว้จะทำให้โหนดถัดมาค่าได้เลยไม่ต้องเริ่มใหม่ทำให้หาวิธีเดินทางได้ 20 วิธีดังนี้

Ex2 2.jpg

ปัญหาที่ 3 ปัญหาการขึ้นบันได

มีบันได n ขั้น มีวิธีการเดินขึ้น 2 วิธี คือ เดินขึ้นทีละขั้น หรือเดินขึ้นทีละ 2 ขั้น จะมีรูปแบบในการขึ้นไปถึงขั้นที่ n กี่รูปแบบ

พิจารณาจากขั้นที่ n จำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดมาขั้นที่ n ต้องรู้รูปแบบการขึ้น 2 ขั้นก่อนหน้า (ขั้นที่ n-1 และ n-2) ถ้าให้ F(n) แทนจำนวนรูปแบบการขึ้นบันไดขั้นที่ n จะได้ว่า F(n) = F(n-1)+F(n-2)

ปัญหาที่ 4 การแบ่งหุ้น

มีใบหุ้น nใบ แต่ละใบมีมูลค่า a1, a2, a3, …, an จะจัดได้กี่รูปแบบ
ถ้ามีใบหุ้น 10 ใบมูลค่าดังนี้ 1, 4, 2, 1, 3, 4, 7, 10, 16 จัดรูปแบบได้ดังนี้

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
0 x
1 x x
4 x x x x
2 x x x x x x x
1 x x x x x x x x
3 x x x x x x x x x x x
4 x x x x x x x x x x x x x x x
7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
10 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
16 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

ถ้ามี a1, a2, a3, …, ai จะมีวิธีรวมให้ได้มูลค่า x บาทหรือไม่ ให้ B(i,x) แทนจำนวนเงินที่ i รวมได้ x บาท
ถ้าใช้ใบหุ้นที่ ai จะได้ B(i-1,x)
ถ้าไม่ใช้ใบหุ้นที่ ai จะได้ B(i-1,x- ai)
B(i,x) = B(i-1,x) V B(i-1,x- ai)

ปัญหาที่ 5 การตั้งร้านกาแฟ

ต้องการตั้งร้านขายกาแฟริมถนนให้ได้มูลค่ารวมสูงสุด โดยไม่สามารถตั้งร้านได้ติดกัน 2 ตำแหน่ง

Ex5.jpg

ถ้าสถานที่ตั้งร้านมีมูลค่า b1, b2, b3, …, bi ตั้งร้านกาแฟได้ตามเงื่อนไขสูงสุดเท่าไร
ให้ V(i) แทนมูลค่าสูงสุดที่ตั้งร้านตำแหน่งที่ i

V(i) = max
ถ้ามีมูลค่าร้านแต่ละตำแหน่งคือ 10, 10000, 10, 10, 100, 10000, 10, 10, 5000, 7000, 2000, 5000, 10 นำมาเขียนตารางได้ดังนี้

i -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
b 0 0 0 10 10000 10 10 100 10000 10 10 5000 7000 2000 5000 10
0 10000 10 20 10100 20000 10010 10110 25000 27000 22000 30000 27000
10 10 10000 10000 10000 10100 20000 20000 20000 25000 27000 27000 30000
V 0 0 0 10 10000 10000 10000 10100 20000 20000 20000 25000 27000 27000 30000 30000


จะได้มูลค่าตั้งร้านรวมสูงสุดคือ 30000 และถ้าต้องการทราบว่าตำแหน่งไหนบ้างที่ต้องเปิดร้านก็เพิ่มการเก็บตำแหน่งไว้

ปัญหาที่ 5 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุด (Longest Increasing Subsequence)

มีลำดับ a1, a2, a3, …, ai ต้องการหาลำดับย่อยที่เพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดที่สิ้นสุดที่ ai ยาวเท่าไร
ตัวอย่าง 1,2,2,3,4 ลำดับย่อยเพิ่มขึ้นที่ยาวที่สุดคือ 1,2,3,4 ความยาว 4
ให้ L(i) แทนความยาวของลำดับเพิ่มขึ้นที่สิ้นสุดที่ ai
จะได้ว่า L(i) = 1 + max(L(j)) เมื่อ j<i และ aj<ai

ปัญหาที่ 6 ลำดับย่อยร่วมที่ยาวที่สุด (Longest Common Subsequence)

มี string 2 string ต้องการหา substring ที่ร่วมที่ยาวที่สุด เช่น S = WELCOMEGOOD T = WELOVEFOOD

Ex6.jpg

จะมี substring ที่ยาวที่สุดคือ WELOEOOD ความยาว 8
ให้ A(i,j) เป็นความยาว substring ร่วมที่ยาวที่สุดตำแหน่ง Si และ Tj
สร้าง recurrence ดังนี้
A(i,j) = max