204512/บรรยาย 8

บันทึกคำบรรยายวิชา 204512 นี้ เป็นบันทึกที่นิสิตเขียนขึ้น เนื้อหาโดยมากยังไม่ผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียด การนำไปใช้ควรระมัดระวัง

จดบันทึกคำบรรยายโดย: วัชรพัฐ เมตตานันท (ยังไม่สมบูรณ์)

การบรรยายครั้งนี้จะกล่าวถึงการแก้ปัญหา network flows โดยใช้แนวคิดเกี่ยวกับ blocking flows ซึ่งนำไปสู่อัลกอริทึมของ E.A.Dinic

Blocking Flows

สำหรับการนิยาม blocking flows เราจะต้องให้นิยาม saturated edge ก่อน

นิยาม 8.1 

ให้ network G และ flow f จะกล่าวว่า edge e saturated (อิ่มตัว) ถ้า f ใช้ capacity ของ e จนหมด นั่นคือ

$f(e)=cap(e)\,$

และเราสามารถนิยาม blocking flows ได้ดังนี้

นิยาม 8.2 

เราจะเรียก flow f ว่าเป็น blocking flow ถ้า ทุกๆ s-t path มี saturated edge อย่างน้อยหนึ่ง edge

จะเห็นว่าถ้า f เป็น blocking flow แล้ว เราไม่สามารถเพิ่มขนาดของ flow โดยการดัน flow เพิ่มตาม path ใน G ได้อีก เนื่องจากทุก path มี saturated edge อยู่ แต่เราอาจเพิ่มขนาดของ flow ได้โดยการลด flow บน edge บางเส้น และเพิ่มไปยัง edge อื่น พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 8.1 

ให้กราฟมีทิศทางดังรูปที่ 8.1 โดย edge ทุกๆเส้นมี capacity เท่ากับ 1

รูปที่ 8.1 ตัวอย่าง blocking flow

พิจารณา flow f ที่มีขนาดเท่ากับ 1 ตามลูกศรสีส้มในรูป จะเห็นว่า edge ทั้งสามเส้นที่มี flow f ไหลผ่าน เป็น saturated edge ทั้งสิ้น และทุกๆ path จาก s ไปยัง t จะมี saturated edge อย่างน้อยหนึ่งเส้น ซึ่งทำให้เราไม่สามารถเพิ่ม flow ตาม path เหล่านี้ได้อีก ดังนั้น f ในตัวอย่างนี้เป็น blocking flow

Level Graphs

ในอัลกอริทึมของ Dinic จะมีขั้นตอนการหา blocking flow บนกราฟที่มีลักษณะพิเศษบางอย่าง ซึ่งเรียกว่า level graph แต่ก่อนจะนิยาม level graph ได้เราต้องให้นิยาม level ของแต่ละโหนดในกราฟก่อน

นิยาม 8.3 

ให้ต้นทาง s, สำหรับโหนด v ใดๆในกราฟ l(v) คือระยะทางที่สั้นที่สุดจาก s ไปยัง v โดยระยะทางบน path p หมายถึงจำนวน edge บน path p

ต่อมาเราจะสามารถนิยาม level graph ได้ดังนี้

นิยาม 8.4 

level graph ของกราฟ G คือสับกราฟของ G ที่มีเฉพาะ edge (u,v) ที่

$l(v)=l(u)+1\,$

ตัวอย่าง 8.2 

รูปที่ 8.2 ตัวอย่าง level graph

พิจารณากราฟ G ในรูปที่ 8.2 โดย edge ทุกเส้นในรูปอยู่ใน G level graph ของ G จะเป็นกราฟที่มีเฉพาะ edge ที่เป็นเส้นทึบในรูป ค่า level ของแต่ละโหนดถูกแสดงด้วยตัวเลขสีแดง

Dinic's Blocking Flow Algorithm

Yefim Dinitz ภาพจาก http://www.cs.bgu.ac.il/~dinitz/

อัลกอริทึมสำหรับหา maximum flow ของ Dinic ประกอบด้วยการตั้งค่าเริ่มต้นให้ flow เป็นศูนย์ และทำขั้นตอน blocking step ซ้ำไปเรื่อยๆจนโหนด t ไม่อยู่ใน level graph (ดูรูปที่ 8.3) โดยขั้นตอน blocking step จะแสดงต่อไปนี้

รูปที่่่่่ 8.3 อัลกอริทึมสำหรับหา maximum flow ของ Dinic (a) กราฟนำเข้า(input graph) (b) level graph และ blocking flow แรก levelของแต่ละโหนดแสดงอยู่ในวงเล็บ (c) level graph และ blocking flow ที่สอง (d) level graph และ blocking flow ที่สาม (e) flow สุดท้าย จะได้ minimum cut เป็น ({s,a,b,d},{c,t})

BLOCKING STEP(Dinic) :

ให้ $f\,$ เป็น flow ปัจจุบัน และ $G_{f}\,$ เป็น residual graph
1 หา level graph $L\,$ ของ $G_{f}\,$
2 หา blocking flow $f'\,$ ใน $L\,$
3 ปรับ $f\,$ ให้เป็น $f+f'\,$

Running Time

จากตัวอย่างจะเห็นว่า ใน residual graph ของ flow สุดท้ายจะไม่มี path จาก s ไปยัง t เหลืออยู่อีก ดังนั้นอัลกอริทึมของ Dinic ให้ผลลัพธ์เป็น maximum flow ต่อไปจะเป็นการพิสูจน์เวลาทำงานของอัลกอริทึม ให้กราฟนำเข้ามีจำนวนโหนดเท่ากับ n และจำนวน edge เท่ากับ m เราจะเริ่มจากทฤษฎีบทย่อยต่อไปนี้

Lemma 8.5 

สำหรับการทำ blocking step ครั้งใดๆ ให้ $l(v)\,$ และ $l'(v)\,$ แทน level ของโหนด $v\,$ ใน level graph ก่อนและหลังการทำ blocking step ตามลำดับ จะได้ว่า

$l'(t)>l(t)\,$