418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 5

ข้อย่อย 1

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า $f_{1}^{2}=1=1\cdot 1=f_{1}f_{2}$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้สมการในโจทย์็เป็นจริง เราได้ว่า

$f_{1}^{2}+f_{1}^{2}+\dotsb +f_{n+1}^{2}\,$	$=\,$	$(f_{1}^{2}+f_{1}^{2}+\dotsb +f_{n}^{2})+f_{n+1}^{2}$
	$=\,$	$f_{n}f_{n+1}+f_{n+1}^{2}$
	$=\,$	$f_{n+1}(f_{n}+f_{n+1})\,$
	$=\,$	$f_{n+1}f_{n+2}\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อย่อย 2

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า $f_{1}=1=f_{2}\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

$f_{1}+f_{3}+\dotsb +f_{2n+1}\,$	$=\,$	$(f_{1}+f_{3}+\dotsb +f_{2n-1})+f_{2n+1}$
	$=\,$	$f_{2n}+f_{2n+1}\,$
	$=\,$	$f_{2n+2}\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อย่อย 3

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า $f_{1+1}f_{1-1}-f_{1}^{2}=0\cdot 1-1=-1=(-1)^{1}\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

$f_{n+2}f_{n}-f_{n+1}^{2}\,$	$=\,$	$(f_{n+1}+f_{n})f_{n}-f_{n+1}(f_{n}+f{n-1})\,$
	$=\,$	$f_{n+1}f_{n}+f_{n}^{2}-f_{n+1}f_{n}-f_{n+1}f_{n-1}\,$
	$=\,$	$-(f_{n+1}f_{n-1}-f_{n}^{2})\,$
	$=\,$	$-(-1)^{n}=(-1)^{n+1}\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน