ตอนที่ 1: Levin's Search กับการแยกตัวประกอบของจำนวน
เกริ่น
"Only math nerds would call finite" Leonid Levin
ปัญหาการแยกตัวประกอบจำนวนก็คือปัญหาที่เรามีจำนวนจำนวนหนึ่งที่เป็นจำนวนประกอบ n เราจะสามารถหาวิธีการที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการแยกตัวประกอบของจำนวนนั้นได้อย่างไร หากลองมองกลับไปวิธีที่ใช้สอนเด็กประถม เราอาจจะทำได้ดังนี้ ลองหารจำนวนตั้งแต่ 1, 2, 3 จนกระทั่งพบจำนวนแรกที่หารจำนวนนั้นลงตัว เท่านี้ก็แยกตัวประกอบสำเร็จ
วิธีนี้อาจจะใช้ได้ผลดีหากตัวเลขมีค่าไม่มากนัก แต่ในแง่ของนักวิทยาการคอมพิวเตอร์แล้ว วิธีนี้ถือว่าสิ้นเปลืองเวลาและพลังงานชิวิตของคอมพิวเตอร์เป็นอย่างมาก ในการคิดความเร็วในการคำนวณของคอมพิวเตอร์นั้น เราจะคิดความเร็วเทียบกับขนาดของข้อมูลที่ป้อนเข้า หาก n มีค่าเป็น 3,000,013 ขนาดของข้อมูลที่ป้อนเข้าก็คือ 7 หลักเท่านั้น แต่วิธีการแยกตัวประกอบดังกล่าวอาจใช้เวลาการทำงานนับหมื่นรอบ เพื่อหาจำนวนดังกล่าว ดังนั้นแล้ววิธีนี้จึงถือว่าไม่มีประสิทธิภาพ
ในด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์นั้น ปัญหาการแยกตัวประกอบถือว่าเป็นปัญหาที่ยากมาก การเข้ารหัสเกือบทั้งหมดในปัจจุบันถูกสร้างขึ้นมาโดยสมมติฐานที่ว่า ผู้ที่ต้องการขโมยข้อมูลไม่สามารถถอดรหัสได้ เพราะฉะนั้น หากมีผู้ใดค้นพบวิธีการแยกตัวประกอบอย่างมีประสิทธิภาพ ระบบความปลอดภัยในคอมพิวเตอร์เกือบทั้งหมดก็จะกลายเป็นไม่ปลอดภัยทันที
กลุ่มวิจัย RSA ได้ตั้งรางวัลไว้สำหรับผู้ที่สามารถใช้คอมพิวเตอร์แยกตัวประกอบจำนวนขนาดใหญ่ได้ในเวลาสั้นๆ [1] (โดยปกติแล้วปัญหาการแยกตัวประกอบจำนวนใหญ่ๆเชื่อว่า ต่อให้รันโปรแกรมไปจนโปรแกรมเมอร์แก่ตาย คอมพิวเตอร์ก็ยังแยกตัวประกอบไม่เสร็จ)
Levin's search
เลวินมีวิธีที่สามารถแยกตัวประกอบจำนวนได้ โดยใช้เวลาในการทำงานไม่เกินค่าคงที่ค่าหนึ่งคูณกับเวลาการทำงานของวิธีการแยกตัวประกอบที่ดีที่สุด สมมติว่าการแยกตัวประกอบที่ดีที่สุดใช้เวลา 10 ปี วิธีของเลวินก็จะใช้เวลาไม่เกินค่าคงที่คูณกับสิบปีนั้น นอกเหนือไปกว่านั้นวิธีของเลวินสามารถใช้ในการหาคำตอบของ ปัญหาใดก็ได้ ที่เราสามารถตรวจคำตอบได้อย่างมีประสิทธิภาพ และใช้เวลาในการทำงานเป็นค่าคงที่คูณกับเวลาที่ใช้ของวิธีที่ดีที่สุดเช่นกัน คำว่าค่าคงที่นี้เป็นค่าคงที่ๆขึ้นกับปัญหา แต่ไม่ขึ้นกับขนาดของข้อมูลป้อนเข้า เช่น ปัญหาการแยกตัวประกอบ ค่าคงที่ดังกล่าวอาจจะเป็น 20 แต่ปัญหาอย่างอื่นก็อาจจะมีค่าคงที่ที่แตกต่างกันไป
