204512/บรรยาย 13
จดบันทึกคำบรรยายโดย:
- นายเกรียงไกร ลิ่มทอง รหัส : 50653732
- นายธีรวัฒน์ ตออำนวย รหัส : 50653815
เนื้อหา
NP Completeness
NP : Non-deterministic Polynomial time ปัญหาที่เป็น NP เป็นปัญหาที่ไม่สามารถแก้ได้ภายใน polynomial time เป็นวิธีหนึ่งที่จะแสดงว่าปัญหาที่กล่าวถึงนั้นยาก แต่ก่อนที่จะกล่าวถึงปัญหาที่อยู่ใน NP Class จะกล่าวถึงปัญหาที่ไม่มีอัลกอริทึมใดแก้ได้ก่อนนั่นคือ ปัญหา Halting problem
Note : ปัญหา Halting problem ไม่ใช่ปัญหาใน NP Class เพราะไม่สามารถแก้ได้
ปัญหา Halting Problem
Description : ให้โปรแกรม P และ input X ถามว่า P(x) ทำงานจบหรือไม่ จะพบว่าเราไม่สามารถออกแบบอัลกอริทึมที่แก้ปัญหานี้ได้ ซึ่งสามารถพิสูจน์โดย contradiction ได้ดังนี้
Proof : สมมติให้มีอัลกอริทึม Q ที่แก้ปัญหา Halting Problem ได้ โดยมี Q(program P, input X) จะ return True ถ้า P(x) halt และ return False เมื่อ P(x) ติด loop เพราะฉะนั้นเราจะสามารถสร้าง procedure Q' ที่มีอัลกอริทึมดังต่อไปนี้ได้
Procedure Q'(program P)
If Q(P, P) then
loop forever
Else
halt
จาก procedure Q' พิจารณา Q'(Q') ว่า halt หรือไม่
Case1 : Q'(Q') halt
นั่นคือ Q(Q',Q') = False --> Q'(Q') = False คือ Q'(Q') ติด loop *Contradict
Case2 : Q'(Q') loop
นั่นคือ Q(Q',Q') = Ture --> Q'(Q') = True คือ Q'(Q') halt *Contradict
เกิด Contradiction จึงสรุปได้ว่าไม่สามารถสร้าง procedure Q' ได้
เพราะฉะนั้น สมมติฐานที่มีอัลกอริทึม Q ที่แก้ปัญหา Halting Problem ได้ ไม่เป็นเป็นจริง
Note : ปัญหา Halting problem ถูกพิสูจน์โดย Alan Turing
ปัญหา Program Equivalence
Description : ให้โปรแกรม P1 และ P2 ถามว่า P1 และ P2 ให้ผลลัพธ์เหมือนกันในทุกๆ input หรือไม่ ในที่นี้เราจะพิสูจน์โดยวิธี Reduction จากปัญหา Halting Problem ไปสู่ปัญหา Program Equivalence
Proof : สมมติว่ามีอัลกอริทึม Q ที่แก้ปัญหา Program Equivalence ได้
ให้มี procedure HP(P,x) สำหรับแก้ปัญหา Halting Problem
- สร้าง program P' ที่ทำงานเหมือน P(x) แต่ไม่รับ input และไม่มี output แต่ก่อนจบพิมพ์ "done"
- สร้าง program P" ที่ไม่ทำอะไรพิมพ์ "done" อย่างเดียว
- ให้ procedure นี้ return Q(P',P")
เพราะเราสามารถบอกได้ว่า HP(P,x) ไม่สามารถแก้ได้ดังนั้น Q(P',P") ไม่สามารถแก้ได้ด้วยคือ reduction จาก H.P. ไป P.E.
Decision Problem
Description : คือปัญหาที่ต้องการคำตอบเป็น Yes หรือ No
ปัญหา Decision Problem P สามารถนิยามใหม่ ด้วย Language P ซึ่งเป็นเซ็ตของ instance ที่ตอบ yes เช่น
Decision Problem
Prime : ให้จำนวนจริง X ถามว่า X เป็น prime หรือไม่
Shortest path : ให้หาว่ามี Shortest path จาก s ไป t ที่ยาวไม่เกิน p หรือไม่
Language
Prime : {3, 5, 7, 11, ...}
Shortest path : {...} (set ของ Shortest path จาก s ไป t ที่ยาวไม่เกิน p)
นิยาม
Problem : คือกลุ่มของปัญหา
Instance : คือตัวปัญหาแต่ละตัว
