418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 5

ข้อย่อย 1

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 เราได้ว่า $f_{0}^{2}=0=0\cdot 1=f_{0}f_{1}$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้สมการในโจทย์็เป็นจริง เราได้ว่า

$f_{0}^{2}+f_{1}^{2}+\dotsb +f_{n+1}^{2}\,$	$=\,$	$(f_{0}^{2}+f_{1}^{2}+\dotsb +f_{n}^{2})+f_{n+1}^{2}$
	$=\,$	$f_{n}f_{n+1}+f_{n+1}^{2}$
	$=\,$	$f_{n+1}(f_{n}+f_{n+1})\,$
	$=\,$	$f_{n+1}f_{n+2}\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน