418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II
ข้อ 1
[Mitzenmacher & Upfal 2.2] ลิงตัวหนึ่งพิมพ์แป้นพิมพ์ดีดที่มีแป้นพิมพ์อยู่ 26 ตัวซึ่งตรงกับตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเลขทั้ง 26 ตัว โดยที่ตัวอักษรที่ลิงพิมพ์แต่ละตัวถูกเลือกขึ้นมาอย่างๆ สุ่มๆ โดยที่ตัวอักษรแต่ละตัวมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน และการพิมพ์แต่ละครั้งเป็นอิสระจากการพิมพ์ครั้งอื่นๆ ถ้าลิืงพิมพ์ตัวอักษรไปทั้งหมด 1,000,000 ตังอักษร จงหาจำนวนที่คำว่า "proof" จะปรากฎอยู่ในข้อความที่ลิงพิมพ์ออกมานี้
ข้อ 2
[Mitzenmacher & Upfal 2.6] โยนลูกเต๋าไม่ถ่วงน้ำหนักหนึ่งลูกสองครั้ง แต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน ให้ เป็นแต้มของการโยนครั้งแรก เป็นแต้มของการโยนครั้งที่สอง และให้ เป็นผลบวกของแต้มทั้งสอง จงหาค่า
- เมื่อ k อยู่ในช่วง [2, 12]
ข้อ 3
[Mitzenmacher & Upfal 2.7] ให้ X และ Y เป็น geometric random variable ที่เป็นอิสระจากกัน โดยที่ X มี parameter p และ Y มี parameter q
- จงหาความน่าจะเป็นที่ X = Y
- จงหา
- จงหา
- จงหา
ข้อ 4
[Mitzenmacher & Upfal 2.12] เราทำการดึงไพ่อย่างสุ่มๆ ออกจากกองไพ่ที่มีไพ่อยู่ n ใบ โดยเมื่อดึงออกมาแล้วใส่กลับเข้าไปในกองใหม่
- เราจะต้ัองดึงไพ่ออกมาประมาณกี่ครั้งจนกว่าจะเราเคยเห็นไพ่ครบทั้ง n ใบ
- ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาจากกองเลยโดยเฉลี่ย
- ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ถูกดึงออกมาจากกองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
ข้อ 5
[Mitzenmacher & Upfal 2.14] โยนเหรียญถ่วงน้ำหนักที่ขึ้นหัวด้วยความน่าจะเป็น p ไปเรื่อยๆ ให้ X เป็นจำนวนการโยนเหรียนจนกระทั่งหัวครั้งที่ k ออกมา จงแสดงว่า