418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II

ข้อ 1

[Mitzenmacher & Upfal 2.2] ลิงตัวหนึ่งพิมพ์แป้นพิมพ์ดีดที่มีแป้นพิมพ์อยู่ 26 ตัวซึ่งตรงกับตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเลขทั้ง 26 ตัว โดยที่ตัวอักษรที่ลิงพิมพ์แต่ละตัวถูกเลือกขึ้นมาอย่างๆ สุ่มๆ โดยที่ตัวอักษรแต่ละตัวมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน และการพิมพ์แต่ละครั้งเป็นอิสระจากการพิมพ์ครั้งอื่นๆ ถ้าลิืงพิมพ์ตัวอักษรไปทั้งหมด 1,000,000 ตังอักษร จงหาจำนวนที่คำว่า "proof" จะปรากฎอยู่ในข้อความที่ลิงพิมพ์ออกมานี้

ข้อ 2

[Mitzenmacher & Upfal 2.6] โยนลูกเต๋าไม่ถ่วงน้ำหนักหนึ่งลูกสองครั้ง แต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน ให้ $X_{1}\,$ เป็นแต้มของการโยนครั้งแรก $X_{2}\,$ เป็นแต้มของการโยนครั้งที่สอง และให้ $X\,$ เป็นผลบวกของแต้มทั้งสอง จงหาค่า

1. $E[X\ |\ X_{1}{\mbox{ is even}}]\,$
2. $E[X\ |\ X_{1}=X_{2}]\,$
3. $E[X_{1}\ |\ X=9]\,$
4. $E[X_{1}-X_{2}\ |\ X=k]\,$ เมื่อ k อยู่ในช่วง [2, 12]

ข้อ 3

[Mitzenmacher & Upfal 2.7] ให้ X และ Y เป็น geometric random variable ที่เป็นอิสระจากกัน โดยที่ X มี parameter p และ Y มี parameter q

1. จงหาความน่าจะเป็นที่ X = Y
2. จงหา $E[\max(X,Y)]\,$
3. จงหา $\Pr(\min(X,Y)=k)\,$
4. จงหา $E[X\ |\ X\leq Y]\,$

ข้อ 4

[Mitzenmacher & Upfal 2.12] เราทำการดึงไพ่อย่างสุ่มๆ ออกจากกองไพ่ที่มีไพ่อยู่ n ใบ โดยเมื่อดึงออกมาแล้วใส่กลับเข้าไปในกองใหม่

1. เราจะต้ัองดึงไพ่ออกมาประมาณกี่ครั้งจนกว่าจะเราเคยเห็นไพ่ครบทั้ง n ใบ
2. ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาจากกองเลยโดยเฉลี่ย
3. ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ถูกดึงออกมาจากกองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น

ข้อ 5

[Mitzenmacher & Upfal 2.14] โยนเหรียญถ่วงน้ำหนักที่ขึ้นหัวด้วยความน่าจะเป็น p ไปเรื่อยๆ ให้ X เป็นจำนวนการโยนเหรียนจนกระทั่งหัวครั้งที่ k ออกมา จงแสดงว่า $\Pr(X=n)={n-1 \choose k-1}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$