418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 8

ข้อ 1

เราได้ว่า $E[X_{0}]=X_{0}=S\,$

พิจารณา $E[X_{n}\ |\ X_{n-1}=c]\,$ เราได้ว่า $E[X_{n}\ |\ X_{n-1}=c]={\frac {1}{2}}\cdot 2c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c}{4}}={\frac {9}{8}}c\,$

ฉะนั้น จาก law of total expectation, $E[X_{n}]=\sum _{c}\Pr(X_{n-1}=c)E[X_{n}\ |\ X_{n-1}=c]=\sum _{c}\Pr(X_{n-1}=c)\cdot {\frac {9}{8}}c={\frac {9}{8}}\sum _{c}c\Pr(X_{n-1}=c)={\frac {9}{8}}E[X_{n-1}]$

ด้วยเหตุนี้เราสามารถสรุปได้ว่า $E[X_{n}]={\bigg (}{\frac {9}{8}}{\bigg )}^{n}S$ สำหรับจำนวนเต็ม $n\,$ ที่ไม่เป็นลบทุกตัว

ข้อ 2

สมมติว่าโยนเหรียญแล้วขึ้นหัว $k\,$ ครั้ง แสดงว่าขึ้นก้อย $n-k\,$ ครั้ง และได้ว่าหลังจบเกม ผู้เล่นจะมีเงินเหลือ $2^{k}\cdot 4^{k-n}\cdot S=2^{3k-2n}S$ หน่วย

ถ้าผู้เล่นจะไม่ขาดทุน หมายความว่า $2^{3k-2n}S\geq S\,$ กล่าวคือ $2^{3k-2n}\geq 1\,$ หรือ $3k-2n\geq 0\,$ ซึ่งหมายความว่า $k\geq {\frac {2n}{3}}\,$

สรุปได้ว่าจะต้องมีการโยนหัวอย่างน้อย $2n/3\,$ ครั้ง

ข้อ 3

ให้ $X\,$ แทนจำนวนหัวที่โยนเหรียญได้ เราได้ว่า $X\,$ เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial ที่มี parameter $p=1/2\,$ ฉะนั้น $E[X]=n/2\,$

ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ $\Pr(X\geq 2n/3)\,$ จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า $\Pr(X\geq 2n/3)\leq {\frac {n/2}{2n/3}}={\frac {3}{4}}\,$

ข้อ 4

เนื่องจาก $X\,$ เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial เราได้ว่า $\mathrm {Var} [X]=n\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\bigg (}1-{\frac {1}{2}}{\bigg )}={\frac {1}{4}}$

ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ $\Pr(X\geq 2n/3)\leq \Pr(|X-n/2|\geq n/6)\,$ จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า $\Pr(X\geq 2n/3)\leq \Pr(|X-n/2|\geq n/6)\leq {\frac {n/4}{n^{2}/36}}={\frac {9}{n}}\,$