418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 7

ข้อย่อย 1

จากวิธีการสร้างสับเซต X ที่ในการโยนเหรียญครั้งที่ i ถ้าเหรียญออกหัว จะให้เลข i เป็นสมาชิกของ X ถ้าออกก้อยจะไม่ให้เป็นสมาชิกของ X

เนื่องจากเหรียญเป็นเหรียญไม่ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวจะเท่ากับออกก้อยคือ 1/2

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เลข i จะเป็นสมาชิกของ X จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่เลข i ไม่เป็นสมาชิกของ X ซึ่งเท่ากับ 1/2

เนื่องจากการโยนเหรียญในแต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่สับเซตทุกสับเซตจะเป็นผลลัพธ์ของกระบวนการนี้มีค่าเท่ากันคือ ${\frac {1}{2^{n}}}$

ข้อย่อย 2

พิจารณาสมาชิกของสับเซต X และ Y ไปพร้อม ๆ กันทีละตัว เนื่องจาก $X\subseteq Y$ จะได้ว่า

ถ้าสมาชิกตัวที่ i ของ X (เมื่อ i มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง n) โยนเหรียญได้หัว สมาชิกตัวนี้ใน Y ก็ต้องได้หัวด้วย (สมาชิกตัวนี้อยู่ใน X แล้วต้องอยู่ใน Y ด้วย)

แต่ถ้าสมาชิกตัวที่ i ของ X โยนเหรียญได้ก้อย สมาชิกตัวนี้ใน Y อาจได้ก้อยหรือหัวก็ได้

ฉะนั้นอาจเขียนเหตุการณ์ที่ $X\subseteq Y$ ด้วยวิธีการสร้างดังกล่าวได้เป็น 3 แบบ คือ

X: H T T

Y: H T H

ดังนั้น $Pr(X\subseteq Y)={\frac {3^{n}}{2^{2n}}}$

ส่วน $Pr(X\cup Y=\{1,2,..,n\})$ พิจารณาได้ดังนี้ เนื่องจาก $X\cup Y=\{1,2,..,n\}$ จะได้ว่า

เมื่อพิจารณาสมาชิกตัวที่ i ที่ i มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง n ถ้าสมาชิกตัวที่ i นี้ใน X โยนเหรียญแล้วได้ก้อย ต้องโยนเหรียญแล้วได้หัวใน Y

หรือ ถ้าโยนเหรียญแล้วได้ก้อยใน Y ต้องโยนเหรียญแล้วได้หัวใน X (ต้องมีสมาชิกตัวนี้ในเซต X หรือ Y)

แต่ถ้าโยนเหรียญแล้วได้หัวใน X หรือ Y จะโยนเหรียญแล้วได้หัวหรือก้อยก็ได้ใน Y และ X (หรือจะมีสมาชิกตัวนี้ในทั้งสองเซตเลยก็ได้)

X: T H H Y: H T H

ดังนั้น $Pr(X\cup Y={1,2,..,n})={\frac {3^{n}}{2^{2n}}}$ เหมือนกัน