204512-53/lecture11
จดบันทึกคำบรรยายโดย:
นายชัชพล นุโยค รหัส 5214550049 นายสุรเดช วัฒนอุดมโรจน์ รหัส 5214550324
NP Completeness
NP: Non-deterministic Polynomial time คือ เซตของ Algorithm ที่ไม่สามารถแก้ไขปัญหาได้ในเวลาที่เป็น polynomial โดยการนิยามเซตของปัญหาเพื่อประโยชน์ในการเปรียบเทียบระดับความยาก-ง่ายของ Algorithm ซึ่งเซตของปัญหาสามารถแบ่งเป็นเซต P, NP, NP-hard และ NP-complete
ในการเปรียบเทียบ Algorithm ใดๆ เราจะทำการพิจารณา Algorithm ว่าจัดอยู่ในเซตของปัญหาใด โดยใช้เทคนิคการลดรูปของปัญหา (Reduction) ว่าเป็นกลุ่มเดียวกับปัญหาที่อยู่ในเซตหรือไม่ ถ้าอยู่ในกลุ่มเดียวกันจะกล่าวว่า Algorithm มีความยากเท่ากัน ความยาก คือ มี Algorithm ที่มีประสิทธิภาพแก้ไขปัญหาหรือไม่
ปัญหา A สัมพันธ์ ปัญหา B
ปัญหา A ไม่ยากไปกว่า ปัญหา B
โดยมีความหมายว่า ถ้ามี Algorithm ที่สามารถแก้ปัญหา B ได้ ปัญหา A ก็จะสามารถแก้ได้เช่นกัน
ปัญหาที่ 1 : Independent Set เป็นปัญหากลุ่ม Decision Problem
นิยาม : ให้ Undirected graph G = (V, E) จะกล่าวว่า I V เป็น Independent Set ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกๆโหนด U,V I, U V ไม่มีเส้นเชื่อมระหว่าง U และ V
ปัญหา : ให้กราฟ G = (V, E) และ integer k, มี Independent set ขนาด ≥ k หรือไม่
ในภาพทำการเลือกโหนด (k) เท่ากับ 1 จะกล่าวว่ามี Independent set ขนาด 1
สามารถนำไปใช้แก้ปัญหา หาคนที่ไม่รู้จักกันในห้อง หรือ การเปิด-ปิดไฟแดงที่แยก
ปัญหาที่ 2 : Vertex Cover
นิยาม : C V เป็น Vertex Cover ก็ต่อเมื่อ (U,V) E,U C หรือ V C
ปัญหา : ให้กราฟ G = (V, E) และ จำนวนเต็ม k ถามว่ามี vertex cover ขนาด ≤ k หรือไม่
ถ้าสมมติให้ Independent Set Vertex Cover
Lemma : พิจารณาเซต A V ใดๆ ให้ A เป็น imdenpendent set โดย V-A เป็น Vertec Cover
Proof : Indenpendent set Vertex Cover
นิยาม : ปัญหา A เป็น Polynomial time เพื่อลดปัญหา B ถ้ามี Algorithm T ที่ทำงานใน Polynomial time สำหรับทุกๆ instance X ของ A จะได้ T(x) เป็น instance ของ B
X' = T(x) เป็น instance ของ B และ |X'| = Poly (|X|)
ถ้า x เป็น instance ตอบ "Yes" ใน A => x' เป็น instance ตอบ "Yes" ใน B
ถ้า x เป็น instance ตอบ "No" ใน A => x' เป็น instance ตอบ "No" ใน B
Lemma : ถ้า A B และมี Algorithm ที่แก้ปัญหา B ได้ใน Polynomial time จะมี Algorithm ที่แก้ปัญหา A ใน Polynomial time ได้ด้วย
Proof : ให้ M เป็น Polynomial time Algorithm ที่แก้ปัญหา B จะได้ว่า A B นั้นคือ มี Polynomial time Algorithm T ที่ instance x ของ A x' = T(x) มีขนาด poly(|x|) และคำตอบของ x ในปัญหา A ตรงกับของ x' ในปัญหา B
สำหรับ Algorithm M' ดังนี้
M'(x) : x' = T(x) return M(x')
แต่เนื่องจาก |x'| = poly(|x|)
ดังนั้น เวลาในการคำนวณ M(x')คือ poly(|x'|) = poly(poly(|x|)) = poly(|x|)
จากนิยาม M'(x) เป็นคำตอบของ x ใน A เหลือแต่ต้องตรวจสอบว่า M' ทำงานใน Polynomial time หรือ poly(|x|)