เอกสารนี้สำหรับรายวิชา 01204512 อ้างอิงจาก http://www.cs.berkeley.edu/~satishr/cs270/sp12/ lecture 1

ในเอกสาร 01204512/congestion1 เราวิเคราะห์กรณีกราฟพิเศษ ที่มี paths ความยาว เชื่อมระหว่างจุดปลาย

ในส่วนนี้เราจะวิเคราะห์กรณีทั่วไป โดยเราจะหา path ไปเรื่อย ๆ โดยใช้เส้นทางที่สั้นที่สุด ตามระยะทางบนเส้นเชื่อม ที่กำหนดให้เท่ากับ โดยที่ จะเป็นค่า congestion ในขณะนั้น

จะวิเคราะห์ผ่านทางปัญหาทวิภาค (dual problem) สำหรับการหาปัญหาทวิภาคนี้ เราจะพิจารณาละเอียดต่อไปในภาคการศึกษานี้

สำหรับปัญหา congestion minimization ในปัญหาทวิภาคของปัญหาดังกล่าว เราต้องการหาค่า weight ให้กับทุก ๆ edge โดยที่ผลรวมของ weight มีค่าเท่ากับ 1 นอกจากนี้ ให้ เป็น shortest path ระหว่าง และ $t_{i}$ ภายใต้ weight เป้าหมายของเราคือพยายามจะ maximize ผลรวมของระยะทางสั้นที่สุดของทุก ๆ คู่

ปัญหาดังกล่าวนิยามได้ดังนี้

max $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 4687004 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Tue, 07 Jul 2026 06:57:33 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49$
subject to: $w_{e}\geq 0,\sum _{e\in E}w_{e}=1$

หมายเหตุ เราเขียน แทนเซต $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\{1,2,3,\ldots ,k\}

Lowerbound

สังเกตว่าสำหรับคำตอบใด ๆ ของปัญหา congestion minimization เป้าหมาย (max congestion) ที่ได้นั้น จะเป็น upper bound ของของเป้าหมายของคำตอบใด ๆ ของปัญหา dual นี้ กล่าวคือ พิจารณาคำตอบของปัญหา congestion minimization ที่ใช้ paths $p_{i}$ ระหว่างคู่ เราต้องการแสดงว่า

พิจารณา $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\max _{e}c(e)\geq \sum _{e}w(e)c(e)

(เพราะว่า?)

สังเกตว่า (ในขั้นตอนที่ 2 เราสลับอันดับของการหาผลรวม)

นั่นคือ เราจะได้ว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\max _{e}c(e)\geq \sum _{e}w(e)c(e)=\sum _{i}w(p_{i})\geq \sum _{i}w(s_{i},t_{i})

ตามต้องการ

การพิสูจน์ในส่วนนี้ ทำให้เราสามารถใช้ weight ของปัญหา dual มาเพื่อ bound congestion ที่เกิดขึ้นกับ congestion ที่ดีที่สุดได้

Congestion ที่ดีที่สุดกับ congestion ที่ได้เมื่อสมดุลย์

เราจะใช้ weight ที่ได้จากระยะทาง นั่นคือ เราจะให้

$w(e)={\frac {\ell (e)}{\sum _{e}\ell (e)}}$

ให้ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

c_{max}

แทนค่า congestion ที่ได้จากอัลกอริทีมที่ปรับค่าโดยใช้ฟังก์ชันยกกำลัง ให้ แทนเส้นเชื่อมที่มีค่า congestion เท่ากับ

สังเกตว่า เนื่องจากระยะทางของเส้นเชื่อม $e$ เท่ากับ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\ell (e)=2^{c(e)}

พิจารณาทุก ๆ เส้นเชื่อม ที่ เราจะได้ว่า

ให้เซต $F$ แทนเซตของเส้นเชื่อม ที่มี เราจะได้ว่า

เนื่องจากผลรวมของระยะทางบน edge ทั้งหมดมีค่าไม่น้อยกว่า $\ell (e^{*})$ เราจะได้ว่า

นั่นคือ edge เซต มีน้ำหนักต่ำมากกว่าเซตของ edge ที่เหลือ

จากที่เราได้วิเคราะห์ในเรื่องของ lowerbound ข้างต้น เราจะได้ว่า

ให้ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

H=E-F

(หรือจะแบ่ง

Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 1071487472 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Tue, 07 Jul 2026 06:57:57 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49

ออกเป็น และ โดยที่เซต

Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 1056298218 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Tue, 07 Jul 2026 06:57:36 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49

จะเป็นเซตที่ weight ส่วนมากอยู่) เราจะได้ว่า

${\begin{array}{rcl}c_{opt}&=&{\frac {\sum _{e\in E}2^{c(e)}\cdot c(e)}{\sum _{e\in E}2^{c(e)}}}\\&=&{\frac {\sum _{e\in F}2^{c(e)}\cdot c(e)+\sum _{e\in H}2^{c(e)}\cdot c(e)}{\sum _{e\in F}2^{c(e)}+\sum _{e\in H}2^{c(e)}}}\\&\geq &{\frac {\sum _{e\in F}2^{c(e)}\cdot c(e)+\sum _{e\in H}2^{c(e)}\cdot c(e)}{(1+1/m)\sum _{e\in H}2^{c(e)}}}\\&\geq &{\frac {\sum _{e\in H}2^{c(e)}\cdot c(e)}{(1+1/m)\sum _{e\in H}2^{c(e)}}}\geq {\frac {(c_{max}-2\log m)\sum _{e\in H}2^{c(e)}}{(1+1/m)\sum _{e\in H}2^{c(e)}}}\\&=&{\frac {(c_{max}-2\log m)}{(1+1/m)}}\cdot {\frac {\sum _{e\in H}2^{c(e)}}{\sum _{e\in H}2^{c(e)}}}\\&=&{\frac {c_{max}-2\log m}{1+1/m}}\end{array}}$

นั่นคือ $c_{max}\leq (1+1/m)c_{opt}+2\log m$

เรื่องราวที่ซ่อนไว้

ในการวิเคราะห์ที่เราทำมา เราสมมติว่าเราสามารถไปสู่จุดสมดุลย์ได้ ในความเป็นจริง เป็นไปได้ที่เมื่อเพิ่ม path ใหม่มา ก็จะทำให้ระยะทางบน edge ไม่มีวันไปสู่จุดสมดุลย์ได้ เราจะพิจารณากรณีนี้ต่อไป

01204512/congestion2

Error

Lowerbound

Error

Error

Congestion ที่ดีที่สุดกับ congestion ที่ได้เมื่อสมดุลย์

Error

Error

Error

เรื่องราวที่ซ่อนไว้

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ