418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 8

จาก Theory Wiki
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ข้อ 1

เราได้ว่า

พิจารณา เราได้ว่า

ฉะนั้น จาก law of total expectation,

ด้วยเหตุนี้เราสามารถสรุปได้ว่า สำหรับจำนวนเต็ม ที่ไม่เป็นลบทุกตัว

ข้อ 2

สมมติว่าโยนเหรียญแล้วขึ้นหัว ครั้ง แสดงว่าขึ้นก้อย ครั้ง และได้ว่าหลังจบเกม ผู้เล่นจะมีเงินเหลือ หน่วย

ถ้าผู้เล่นจะไม่ขาดทุน หมายความว่า กล่าวคือ หรือ ซึ่งหมายความว่า

สรุปได้ว่าจะต้องมีการโยนหัวอย่างน้อย ครั้ง

ข้อ 3

ให้ แทนจำนวนหัวที่โยนเหรียญได้ เราได้ว่า เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial ที่มี parameter ฉะนั้น

ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า

ข้อ 4

เนื่องจาก เป็นตัวแปรสุ่มแบบ binomial เราได้ว่า

ความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะไม่ขาดทุนมีค่าเท่ากับ จากอสมการของมาร์คอฟ เราได้ว่า