เฉลย

ข้อย่อย 1

สูตรคือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 324280066
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:38 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

base case: ให้ $n=1$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 335974191
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:39 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2^{1}}}={\frac {2^{1}-1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 331584217
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:40 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย ${\frac {1}{2^{n+1}}}$

จะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 326278824
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:41 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2}{2}}.{\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 306495250
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:42 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2^{n+1}-2}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

$={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

ข้อย่อย 2

สูตรคือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

base case: ให้ $n=1$

${\frac {1}{1(1+1)}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n)คือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n+1}{n+2}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

บวก ${\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ ทั้งสองข้างของสมการ

จะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 280881378
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:45 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

$={\frac {n}{(n+1)}}.{\frac {(n+2)}{(n+2)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 321526443
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:46 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$

$={\frac {(n+1)}{(n+2)}}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ เป็นจริง

ข้อย่อย 3

(Base Case) เนื่องจาก $n=0\,$ เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 334728009
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:47 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$1=(2\cdot 0+1)^{2}=(0+1)(2\cdot 0+1)(2\cdot 0+3)/3\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

$1^{2}+3^{2}+\dotsb +(2(n+1)+1)^{2}\,$	$=\,$	$(1^{2}+3^{2}+\dotsb +(2n+1)^{2})+(2n+3)^{2}\,$
	$=\,$	${\frac {(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}}+(2n+3)^{2}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {(n+1)(2n+1)}{3}}+(2n+3){\bigg ]}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {2n^{2}+3n+1+3(2n+3)}{3}}{\bigg ]}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\bigg [}{\frac {2n^{2}+9n+10}{3}}{\bigg ]}\,$
	$=\,$	$(2n+3){\frac {(n+2)(2n+5)}{3}}\,$
	$=\,$	${\frac {((n+1)+1)((2(n+1)+1)(2(n+1)+3)}{3}}\,$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 4

base case: คือ n=5 แทนค่าจะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 331028969
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:53 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{5}>5^{2}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือ สมมติให้ p(n) คือ $2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 296700438
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:54 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n+1}>(n+1)^{2}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติ $2^{n}>n^{2}$

คูณ 2 ทั้งสองข้างของสมการจะได้

$2.2^{n}>2.n^{2}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 263974124
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:55 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n+1}>n^{2}+n^{2}$

$\geq n^{2}+5n$ เนื่องจาก n>4

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 336857298
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:56 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\geq n^{2}+2n+1$

$=(n+1)^{2}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4

ข้อย่อย 5

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า $1+1/4=5/4<3/2=2-1/2\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 301583258 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:57 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $1+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n+1}}^{2}\,$	$=\,$	$(1+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n^{2}}})+{\frac {1}{(n+1)^{n}}}\,$
	$<\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 315041104 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:23:59 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\,$
	$<\,$	$2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n(n+1)}}\,$
	$=\,$	$2-{\frac {1}{n}}{\Bigg [}1-{\frac {1}{n+1}}{\Bigg ]}\,$
	$=\,$	$2-{\frac {1}{n}}{\frac {n}{n+1}}\,$
	$=\,$	$2-{\frac {1}{n+1}}\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง $n>1$ ทุกจำนวน

ข้อย่อย 6

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า $0^{3}-0=0$ ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว

(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ $n^{3}-n$ หารด้วย 6 ลงตัว

พิจารณาค่า $(n+1)^{3}-(n+1)=n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1=(n^{3}-n)+3n^{2}+3n=(n^{3}-n)+3n(n+1)$

เราได้ว่า 6 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 323592535
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:03 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร $3n(n+1)$ ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร $3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจากในค่า $n$ และ $n+1$ ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่

เนื่องจาก 6 หารทั้ง $n^{3}-n$ และ $3n(n+1)$ ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร $(n^{3}-n)+3n(n+1)=(n+1)^{3}-(n+1)$ ลงตัวด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร $n^{3}-n$ ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 7

ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้

lemma: ให้ $A\,$, $B\,$, $C\,$ และ $D\,$ เป็นเซตใดๆ ที่ $A\subseteq C\,$ และ $B\subseteq D\,$ แล้ว

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 304464841
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:08 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$A\cap B\subseteq C\cap D$

พิสูจน์ (lemma): ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ $x\in A\cap B$ เราได้ว่า $x\in A$ และ $x\in B$

เนื่องจาก $A\subseteq C$ และ $B\subseteq D$ เราได้ว่า $x\in C$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 339607842
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:11 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x\in D$ ด้วย ดังนั้น $x\in C\cap D$

เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 323100308
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:12 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\forall x,[x\in A\cap B\rightarrow x\in C\cap D]$ ฉะนั้น $A\cap B\subseteq C\cap D$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 280062023
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:12 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\bigcap _{i=1}^{1}A_{i}=A\subseteq B=\bigcap _{i=1}^{1}B_{i}\,$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง

เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 319431484
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:13 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\bigcap _{i=1}^{n+1}A_{i}=A_{n+1}\cap \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ และ

โจทย์กำหนดว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 339575012
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:13 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$A_{n+1}\subseteq B_{n+1}$ และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 302433406
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:13 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}\,$ ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า

ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า

ข้อย่อย 8

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 327328814
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:13 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$1\cdot 2^{1-1}=1=(1-1)2^{1}+1$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า

$1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+\dotsb +(n+1)\cdot 2^{n}\,$	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 334531619 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:33 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+\dotsb +n\cdot 2^{n-1})+(n+1)\cdot 2^{n}\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 307379020 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:15 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(n-1)2^{n}+1+(n+1)\cdot 2^{n}\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 328733701 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:35 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n)\cdot 2^{n}+1\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 319301467 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:15 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $n\cdot 2^{n+1}+1\,$

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 9

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า $4^{1+1}+5^{2\cdot 1-1}=16+5=21$ ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ $4^{n+1}+5^{2n-1}$ หารด้วย 21 ลงตัว

เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 328768099
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:16 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$4^{n+2}+5^{2n+1}=4\cdot 4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=(25-21)4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}$

จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร $4^{n+1}+5^{2n-1}$ ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 317761297
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:17 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$25(4^{n+1}+5^{2n-1})$ ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 314681592
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:37 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$21\cdot 4^{n+1}$ ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร $25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}=4^{n+2}+5^{2n+1}$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร $4^{n+1}+5^{2n-1}$ ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 10

lemma: สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ $2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}>2{\sqrt {n+2}}$

พิสูจน์ (lemma): เราได้ว่า

	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 298239681 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:18 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $>\,$	$2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 320380960 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:19 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $({\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n+1}}){\frac {{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 285303099 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:41 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $>\,$	$2{\sqrt {n+1}}$
${\frac {1}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 305674977 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:20 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $>\,$	$2{\sqrt {n+1}}$
${\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 281138587 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:20 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $>\,$	$2{\sqrt {n+2}}-2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 283566324 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:21 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$	$>\,$	$2{\sqrt {n+2}}$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 329158799
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 03:24:22 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$1>0.82842712474619029\dotsb =2({\sqrt {1+1}}-1)\,$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

$1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+\dotsb +{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}>2({\sqrt {n+1}}-1)+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}=2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}-2>2{\sqrt {n+2}}-2=2({\sqrt {n+2}}-1)$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว