เนื้อหา

1 ข้อ 1
2 ข้อ 2
3 ข้อ 3
4 ข้อ 4
5 ข้อ 5

ข้อ 1

$(\rightarrow )$ สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคู่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=2k$ เราจะได้ว่า $n^{3}=(2k)^{3}=8k^{3}=2(4k^{3})$ ดังนั้น $n^{3}$ ก็เป็นจำนวนเต็มคู่ด้วยเช่นกัน

$(\leftarrow )$ สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มคี่ ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $n=2k+1$ เราจะได้ว่า $n^{3}=(2k+1)^{3}=8k^{3}+12k^{2}+6k+1=2(4k^{3}+6k^{2}+3k)+1$ ดังนั้น $n^{3}$ ก็เป็นจำนวนเต็มคี่ด้วยเช่นกัน

ข้อ 2

ให้ x เป็นจำนวนจริงใดๆ เราจะแสดงว่ามีจำนวนเต็ม y ที่ทำให้ $x+y=xy$ ก็ต่อเมื่อ $x\neq 1$

$(\rightarrow )$ สมมติว่า $x=1$ เราได้ว่า $1+y=y$ เกิดข้อขัดแย้งไม่มี y จะมีค่าเท่าใดก็ตาม ฉะนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าถ้ามีจำนวนเต็ม y ที่ทำให้ $x+y=xy$ แล้ว $x\neq 1$

$(\leftarrow )$ สมมติว่า $x\neq 1$ ให้ $y={\frac {x}{x-1}}$ เราได้ว่า

$x+y\,$	$=\,$	$x+{\frac {x}{x-1}}\,$
	$=\,$	${\frac {(x^{2}-x)+x}{x-1}}\,$
	$=\,$	${\frac {x^{2}}{x-1}}\,$
	$=\,$	$x{\frac {x}{x-1}}\,$
	$=\,$	$xy\,$

ข้อ 3

$(\rightarrow )$ สมมติให้ $A\subseteq B$ และสมมติให้ $X$ เป็นสมาชิกใดๆ ของ $P(A)$ เราได้ว่า $X\subseteq A$

เนื่องจาก $A\subseteq B$ เราได้ว่า $X\subseteq B$ ด้วย ฉะนั้น $X\in P(B)$

เนื่องจาก $X$ เป็นสมาชิกใดๆ ของ $P(A)$ เราจึงสรุปได้ว่า $P(A)\subseteq P(B)$

$(\leftarrow )$ สมมติให้ $A\not \subseteq B$ แสดงว่ามีสมาชิก $x\,$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ $x\in A$ แต่ $x\not \in B$

เราได้ว่า $\{x\}\subseteq A$ ดังนั้น $\{x\}\in P(A)$ แต่ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

\{x\}\not \subseteq B

ดังนั้น

Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 95198549 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 17:52:12 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

P(A)\not \subseteq P(B)

ข้อ 4

เราจะใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฏีบท ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะและถ้า p หาร mn ลงตัวเมื่อ m และ n เป็นจำนวนเต็มแล้ว p หาร m หรือ p หาร n ลงตัว

$(\rightarrow )$ สมมติว่า 15 หาร n ลงตัว ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

n=15k

เราได้ว่า

Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } } Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 105616415 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Fri, 13 Mar 2026 17:52:13 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49

ดังนั้น 3 หาร n ลงตัวและ 5 หาร n ตัว

$(\leftarrow )$ สมมติให้ 3 หาร n ลงตัวและ 5 หาร n ลงตัว ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

n=3k

เนื่องจาก 5 หาร n ลงตัว 5 ต้องหาร 3k ลงตัวด้วย

ใช้ทฤษฎีบทข้างบน เราได้ว่า 5 ต้องหาร 3 ลงตัว หรือไม่ 5 ต้องหาร k ลงตัว แต่เนื่องจาก 5 หาร 3 ไม่ลงตัว เราได้ว่า 5 ต้องหา k ลงตัว ฉะนั้นให้ m เป็นจำนวนเต็มที่ทำให้ $Wikimedia Error * { margin: 0; padding: 0; } body { background: #fff; font: 15px/1.6 sans-serif; color: #333; } .content { margin: 7% auto 0; padding: 2em 1em 1em; max-width: 640px; display: flex; flex-direction: row; flex-wrap: wrap; } .footer { clear: both; margin-top: 14%; border-top: 1px solid #e5e5e5; background: #f9f9f9; padding: 2em 0; font-size: 0.8em; text-align: center; } img { margin: 0 2em 2em 0; } a img { border: 0; } h1 { margin-top: 1em; font-size: 1.2em; } .content-text { flex: 1; } p { margin: 0.7em 0 1em 0; } a { color: #0645ad; text-decoration: none; } a:hover { text-decoration: underline; } code { font-family: sans-serif; } summary { font-weight: bold; cursor: pointer; } details[open] { background: #970302; color: #dfdedd; } .text-muted { color: #777; } @media (prefers-color-scheme: dark) { a { color: #9e9eff; } body { background: transparent; color: #ddd; } .footer { border-top: 1px solid #444; background: #060606; } #logo { filter: invert(1) hue-rotate(180deg); } .text-muted { color: #888; } }$

Error

Too many requests (f061ab2)

k=5m

กล่าวคือ

n=3k=3(5m)=15m

ดังนั้น 15 หาร n ลงตัว

ข้อ 5

ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม ให้ c = ab เราจะได้ว่า a หาร c ลงตัว และ b หาร c ลงตัว

418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 6

เนื้อหา

ข้อ 1

ข้อ 2

ข้อ 3

Error

Error

ข้อ 4

Error

Error

Error

ข้อ 5

รายการเลือกการนำทาง

เครื่องมือส่วนตัว

เนมสเปซ

สิ่งที่แตกต่าง

ดู

เพิ่มเติม

ค้นหา

การนำทาง

เครื่องมือ