418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 1

ข้อย่อย 1

สูตรคือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 922758751
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:35 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

base case: ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 943198282
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:35 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$n=1$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 943098862
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:35 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2^{1}}}={\frac {2^{1}-1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n) คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 936253324
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:36 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า p(n+1) คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 930586924
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:36 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 947226691
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:36 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

บวกทั้งสองข้างของสมการด้วย

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 943198295
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:37 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{2^{n+1}}}$

จะได้ ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 927048701
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:37 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2}{2}}.{\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 938120085
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:37 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2^{n+1}-2}{2^{n+1}}}+{\frac {1}{2^{n+1}}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 935271101
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:38 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {2^{n+1}-1}{2^{n+1}}}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}$

ข้อย่อย 2

สูตรคือ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 938841662
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:38 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

base case: ให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 935958111
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:38 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$n=1$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 929016126
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:39 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1(1+1)}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$ เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือสมมติให้ p(n)คือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ เป็นจริง ต้องการพิสูจน์ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 943164122
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:39 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n+1}{n+2}}$ เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติไว้คือ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {n}{n+1}}$

บวก

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 905564901
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:40 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$ ทั้งสองข้างของสมการ

จะได้ ${\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

$={\frac {n}{(n+1)}}.{\frac {(n+2)}{(n+2)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 937759731
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:40 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$={\frac {(n+1)(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$

$={\frac {(n+1)}{(n+2)}}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า เป็นจริง

ข้อย่อย 3

(Base Case) เนื่องจาก เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 921939488
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:40 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$1=(2\cdot 0+1)^{2}=(0+1)(2\cdot 0+1)(2\cdot 0+3)/3\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

	$=\,$
	$=\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 943394502 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:41 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n+3){\bigg [}{\frac {2n^{2}+9n+10}{3}}{\bigg ]}\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 930948910 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:01:05 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n+3){\frac {(n+2)(2n+5)}{3}}\,$
		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 949387420 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:42 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {((n+1)+1)((2(n+1)+1)(2(n+1)+3)}{3}}\,$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 4

base case: คือ n=5 แทนค่าจะได้

เป็นจริง

inductive step: inductive hypothesis คือ สมมติให้ p(n) คือ $2^{n}>n^{2}$ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า เป็นจริงด้วย

จากที่สมมติ $2^{n}>n^{2}$

คูณ 2 ทั้งสองข้างของสมการจะได้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 947619045
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:01:10 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2.2^{n}>2.n^{2}$

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 925576824
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:42 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{n+1}>n^{2}+n^{2}$

$\geq n^{2}+5n$ เนื่องจาก n>4

$=(n+1)^{2}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า เป็นจริง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 4

ข้อย่อย 5

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 2 และเราได้ว่า $1+1/4=5/4<3/2=2-1/2\,$

(Induction Case) สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 2 และให้สมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 902124880 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:43 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $1+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n+1}}^{2}\,$	$=\,$	$(1+{\frac {1}{4}}+\dotsb +{\frac {1}{n^{2}}})+{\frac {1}{(n+1)^{n}}}\,$
	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 949649410 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:43 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $<\,$	$2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\,$
		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 938808319 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:01:19 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n(n+1)}}\,$
	$=\,$
	$=\,$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง ทุกจำนวน

ข้อย่อย 6

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 0 และเราได้ว่า ซึ่งหารด้วย 6 ได้ลงตัว

(Induction Case) สมมติว่า n เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และสมมติให้ $n^{3}-n$ หารด้วย 6 ลงตัว

พิจารณาค่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 912998981
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:01:26 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$(n+1)^{3}-(n+1)=n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1=(n^{3}-n)+3n^{2}+3n=(n^{3}-n)+3n(n+1)$

เราได้ว่า 6 หาร $3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจาก 3 หาร $3n(n+1)$ ลงตัว นอกจากนี้ 2 ยังหาร $3n(n+1)$ ลงตัวเนื่องจากในค่า $n$ และ $n+1$ ลงตัว จะต้องมีสักตัวที่เป็นจำนวนคู่

เนื่องจาก 6 หารทั้ง $n^{3}-n$ และ $3n(n+1)$ ลงตัว เราจึงได้ว่า 6 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 950960221
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:01:30 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$(n^{3}-n)+3n(n+1)=(n+1)^{3}-(n+1)$ ลงตัวด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า 6 หาร $n^{3}-n$ ลงตัวสำหรับจำนวนเต็ม n ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ข้อย่อย 7

ก่อนเราจะทำการพิสูจน์ข้อความในโจทย์ เราจะทำการพิสูจน์ lemma ต่อไปนี้

lemma: ให้ $A\,$, $B\,$, $C\,$ และ $D\,$ เป็นเซตใดๆ ที่

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 909591346
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:01:35 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$A\subseteq C\,$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 932291224
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:45 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$B\subseteq D\,$ แล้ว

พิสูจน์ (lemma): ให้ x เป็นค่าใดๆ สมมติให้ เราได้ว่า และ $x\in B$

เนื่องจาก

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 930095880
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:01:40 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$A\subseteq C$ และ $B\subseteq D$ เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 929016169
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:46 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x\in C$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 912605619
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:01:42 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$x\in D$ ด้วย ดังนั้น

เนื่องจาก x เป็นค่าใดๆ เราจึงสามารถสรุปได้ว่า $\forall x,[x\in A\cap B\rightarrow x\in C\cap D]$ ฉะนั้น

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีนี้เราได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ข้อความที่โจทย์ต้องการพิสูจน์เป็นจริง

เราได้ว่า และ

โจทย์กำหนดว่า $A_{n+1}\subseteq B_{n+1}$ และจาำกสมมติฐานเราได้ว่า ฉะนั้นด้วย lemma เราได้ว่า

ฉะนั้นเราจึงสรุปได้ว่าข้อความในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกค่า

ข้อย่อย 8

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราจะได้ว่า

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 0 และสมมติให้สมการในโจทย์เป็นจริง ได้ว่า

Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 892690583 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:01:51 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $1\cdot 2^{0}+2\cdot 2^{1}+\dotsb +(n+1)\cdot 2^{n}\,$
	$=\,$
	$=\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 926753746 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:47 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $(2n)\cdot 2^{n}+1\,$
	$=\,$	$n\cdot 2^{n+1}+1\,$

ดังนั้นเราสรุปได้ว่าสมการเป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 9

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 และเราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 948928774
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:47 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$4^{1+1}+5^{2\cdot 1-1}=16+5=21$ ซึ่งหารด้วย 21 ลงตัว

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้ $4^{n+1}+5^{2n-1}$ หารด้วย 21 ลงตัว

เราได้ว่า $4^{n+2}+5^{2n+1}=4\cdot 4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=(25-21)4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}$

จากสมมติฐาน เราได้ว่า 21 หาร ลงตัว ดังนั้นมันจึงหาร ลงตัว และเนื่องจาก 21 หาร

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 944277957
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:47 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$21\cdot 4^{n+1}$ ลงตัว เราจึงได้ว่า 21 หาร $25(4^{n+1}+5^{2n-1})+21\cdot 4^{n+1}=4^{n+2}+5^{2n+1}$

ฉะนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า 21 หาร ลงตัวสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกจำนวน

ข้อ 10

lemma: สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ

พิสูจน์ (lemma): เราได้ว่า

		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 938218471 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:02:04 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 945556035 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:48 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $({\sqrt {n+2}}+{\sqrt {n+1}}){\frac {{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 921939961 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:02:05 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $>\,$	$2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 934484012 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:48 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {1}{{\sqrt {n+2}}-{\sqrt {n+1}}}}$		Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 929505221 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:49 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 922463764 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:02:09 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$		$2{\sqrt {n+2}}-2{\sqrt {n+1}}$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 923676803 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:49 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 930586973 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:50 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $>\,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 945392327 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:02:12 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {n+2}}$

พิสูจน์ (โจทย์)

(Base Case) n มีค่าเท่ากับ 1 เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 916242035
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:02:14 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$1>0.82842712474619029\dotsb =2({\sqrt {1+1}}-1)\,$

(Induction Case) ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก และสมมติให้อสมการในโจทย์เป็นจริง เราได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 926623815
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Sun, 15 Feb 2026 21:00:50 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+\dotsb +{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}>2({\sqrt {n+1}}-1)+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}=2{\sqrt {n+1}}+{\frac {1}{\sqrt {n+1}}}-2>2{\sqrt {n+2}}-2=2({\sqrt {n+2}}-1)$

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าอสมการในโจทย์เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทุกตัว