418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ II/เฉลยข้อ 3

การพิสูจน์ข้อความในโจทย์นี้เราจะใช้เทคนิคการพิสูจน์ที่เรียกว่า backward induction (induction กลับหลัง) ซึ่งมีโครงร่างดังต่อไปนี้

สมมติให้ P(n) เป็นข้อความที่เรา้ต้องการพิสูจน์ ในกรณีนี้คือข้อความ ${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

1. เราจะแสดงว่า P(n) เป็นจริงสำหรับ n ซึ่งมีค่าเท่ากับ $2^{k}$ เมื่อ k เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ กล่าวคือเราจะแสดงว่า P(1), P(2), P(4), P(8), ...
2. เสร็จแล้วเราจะแสดงว่าถ้า P(n) เป็นจริง แล้ว P(n-1) จะเป็นจริงด้วย

ทำไมเมื่อแสดงว่าข้อความข้างบนสองข้อความเป็นจริงแล้ว เราถึงสามารถสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมดได้?

สังเกตว่าเราแสดงว่า P(8) เป็นจริงก่อน แล้วถ้า P(8) เป็นจริง เราจะได้ว่า P(7) เป็นจริงด้วย เมื่อ P(7) เป็นจริง P(6) ก็จะเป็นจริง ซึ่งส่งผลให้ P(5) เป็นจริงด้วย (เราไม่ต้องแสดงว่า P(4) เป็นจริงอีกรอบเนื่องจากเราได้เคยแสดงว่ามันเป็นจริงมาก่อนหน้านี้แล้ว)

เช่นเดียวกับ สำหรับจำนวนเต็ม n ใดๆ ถ้า n ไม่อยู่ในรูป $2^{k}$ ก็จะมีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 994511160
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:48 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{k}>m$ เสมอ ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงเนื่องจาก

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 938535439
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:48 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$P(2^{k})$ เป็นจริงนั่นเอง

การพิสูจน์ของเราจะใช้ lemma ต่อไปนี้เป็นเครื่องมือที่สำคัญ

lemma 1: ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ แล้ว ${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}$

พิสูจน์ (lemma 1): ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ เราได้ว่า

$({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}$	$\geq \,$	$0\,$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 990222781 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:50 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $a-2{\sqrt {ab}}+b$	$\geq \,$	$0\,$
$a+b\,$	$\geq \,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 967691677 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:51 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 $2{\sqrt {ab}}$
${\frac {a+b}{2}}$	$\geq \,$	${\sqrt {ab}}$

ต่อไปเราจะพิสูจน์ว่า $P(n)$ เป็นจริืงสำหรับ $n=2^{k}$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

lemma 2: ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ และให้

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 986422293
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:53 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{2^{k}}$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ แล้ว

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 923987204
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:53 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{2^{k}}}{2^{k}}}\geq (a_{1}a_{2}\cdots a_{2^{k}})^{1/2^{k}}$

พิสูจน์ (lemma 2): (Base Case) ในกรณีนี้ k มีค่าเท่ากับ 0 และเราจะได้ว่า ${\frac {a_{1}}{1}}=a_{1}=(a_{1})^{1/2^{0}}$

(Induction Case) ให้ k เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ สมมติว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 951905142
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:54 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{2^{k}}}{2^{k}}}\geq (a_{1}a_{2}\cdots a_{2^{k}})^{1/2^{k}}$ สำหรับจำนวนจริืงบวก

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 996081782
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:54 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2^{k}}$ ใดๆ

ให้ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{2^{k+1}}$ เป็นจำนวนเต็มบวก

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 989011136
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:55 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$2^{k+1}$ ใดๆ กำหนดให้

• 

  Error

  Too many requests (f061ab2)

  If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

  Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 967398298
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:55 GMT


  Sensitive client information

  IP address: 158.108.32.49

  $A_{0}={\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{2^{k}}}{2^{k}}}$
• 

  Error

  Too many requests (f061ab2)

  If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

  Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 922905867
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:56 GMT


  Sensitive client information

  IP address: 158.108.32.49

  $A_{1}={\frac {a_{2^{k}+1}+a_{2^{k}+2}+\dotsb +a_{2^{k+1}}}{2^{k}}}$
• 

  Error

  Too many requests (f061ab2)

  If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

  Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 991499213
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:56 GMT


  Sensitive client information

  IP address: 158.108.32.49

  $G_{0}=(a_{1}a_{2}\cdots a_{2^{k}})^{1/2^{k}}$
• 

  Error

  Too many requests (f061ab2)

  If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

  Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 985179708
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:56 GMT


  Sensitive client information

  IP address: 158.108.32.49

  $G_{1}=(a_{2^{k}+1}a_{2^{k}+2}\cdots a_{2^{k+1}})^{1/2^{k}}$

จากสมมติฐานที่ตั้งไว้ เราได้ว่า $A_{0}\geq G_{0}$ และ

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 934179325
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:57 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

$A_{1}\geq G_{1}$

จาก lemma 1 เราได้ว่า ${\frac {A_{0}+A_{1}}{2}}\geq {\sqrt {A_{0}A_{1}}}$ แต่จากสมมติฐาน เราทราบว่า ${\sqrt {A_{0}A_{1}}}\geq {\sqrt {G_{0}G_{1}}}$ ดังนั้น ${\frac {A_{0}+A_{1}}{2}}\geq {\sqrt {G_{0}G_{1}}}$

นอกจากนี้เรายังทราบอีกว่า ${\frac {A_{0}+A_{1}}{2}}={\frac {(a_{1}+\dotsb +a_{2^{k}})/2^{k}+(a_{2^{k}+1}+\dotsb +a_{2^{k+1}})/2^{k}}{2}}={\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{2^{k+1}}}{2^{k+1}}}$

และ ${\sqrt {G_{0}G_{1}}}=[(a_{1}a_{2}\cdots a_{2^{k}})^{1/2^{k}}(a_{2^{k}+1}a_{2^{k}+2}\cdots a_{2^{k+1}})^{1/2^{k}}]^{1/2}=(a_{1}a_{2}\cdots a_{2^{k+1}})^{1/2^{k+1}}$

ดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่า

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 934538482
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:59 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{2^{k}}}{2^{k}}}\geq (a_{1}a_{2}\cdots a_{2^{k}})^{1/2^{k}}$ เป็นจริงสำหรับจำนวนเต็ม k ที่ไม่เป็นลบทุกจำนวน

ต่อไปเราจะพิสูจน์ขั้น "induction กลับหลัง"

lemma 3: ให้ $n\,$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และให้ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,$ เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ ถ้า ${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}}{n}}\geq (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n}$ แล้ว

Error

Too many requests (f061ab2)

If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below.

Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 987144069
Upstream caches: cp5021 int
Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:19:59 GMT


Sensitive client information

IP address: 158.108.32.49

${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n-1}}{n-1}}\geq (a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1})^{1/(n-1)}$

พิสูจน์ (lemma 3): เนื่อกจากอสมการ ${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}}{n}}\geq (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n}$ เราสามารถกำหนดใ้ห้ และเราจะได้ว่า

${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n-1}+(a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1})^{1/(n-1)}}{n}}\,$	$\geq \,$	${\big (}a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1}(a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1})^{1/(n-1)}{\big )}^{1/n}\,$
	$\geq \,$	Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 986226806 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:20:01 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\big (}a_{1}^{n/(n-1)}a_{2}^{n/(n-1)}\cdots a_{n-1}^{n/(n-1)}{\big )}^{1/n}\,$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 995492209 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:20:01 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n-1}}{n}}+{\frac {(a_{1}a_{2}\cdots a_{n-1})^{1/(n-1)}}{n}}\,$
	$\geq \,$	$(a_{1}a_{2}\cdots a_{1-1})^{1/(n-1)}\,$
${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n-1}}{n}}\,$		${\frac {n-1}{n}}(a_{1}a_{2}\cdots a_{1-1})^{1/(n-1)}\,$
Error Too many requests (f061ab2) If you report this error to the Wikimedia System Administrators, please include the details below. Request served via cp5021 cp5021, Varnish XID 980005617 Upstream caches: cp5021 int Error: 429, Too many requests (f061ab2) at Mon, 19 Oct 2026 16:20:03 GMT Sensitive client information IP address: 158.108.32.49 ${\frac {a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n-1}}{n-1}}\,$		$(a_{1}a_{2}\cdots a_{1-1})^{1/(n-1)}\,$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า

ทฤษฏีบท (อสมการ AM-GM): ถ้า เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ แล้ว