418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 10

ให้ B เป็นเซตของคำตอบทั้งหมดของสมการ

จะได้ว่า $|B|={17+4-1 \choose 17}=1140\,$

ให้ A เป็นเซตของคำตอบของสมการโดยที่ $x_{1}\leq 3,x_{2}\leq 4,x_{3}\leq 5,x_{4}\leq 8$

จะได้ว่า B-A คือเซตของคำตอบทั้งหมดของสมการที่ $x_{1}>3$ หรือ $x_{/}>4$ หรือ $x_{3}>5$ หรือ $x_{4}>8$

ให้ $A_{1}$ เป็นเซตคำตอบของสมการที่ $x_{1}>3$

$A_{2}$ เป็นเซตคำตอบของสมการที่ $x_{2}>4$

$A_{3}$ เป็นเซตคำตอบของสมการที่ $x_{3}>5$

$A_{4}$ เป็นเซตคำตอบของสมการที่ $x_{4}>8$

$|B-A|\,$	$=\,$	$A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}\,$
	$=\,$	$|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}|+|A_{4}|-|A_{1}\cap A_{2}|-|A_{1}\cap A_{3}|-|A_{1}\cap A_{4}|-|A_{2}\cap A_{3}|-|A_{2}\cap A_{4}|-|A_{3}\cap A_{4}|+|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}|\,$
	$\,$	$+|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4}|+|A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4}|+|A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|-|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|\,$

หา $|A_{1}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{1}>3$ ให้เป็นสมการที่ 1

จาก $x_{1}>3$ นั่นก็คือ $x_{1}\geq 4$ นั่นเอง

ให้ $x_{1}^{'}=x_{1}-4$ แทนค่าในสมการที่ 1 ได้ $x_{1}^{'}+4+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}^{'}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=13$ โดยที่ $x_{1}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}|={13+4-1 \choose 13}\,$

หา $|A_{2}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{2}>4$ ให้เป็นสมการที่ 2

จาก $x_{2}>4$ นั่นก็คือ $x_{2}\geq 5$ นั่นเอง

ให้ $x_{2}^{'}=x_{2}-5$ แทนค่าในสมการที่ 2 ได้ $x_{1}+x_{2}^{'}+5+x_{3}+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}^{'}+x_{3}+x_{4}=12$ โดยที่ $x_{2}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{2}|={12+4-1 \choose 12}\,$

หา $|A_{3}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{3}>5$ ให้เป็นสมการที่ 3

จาก $x_{3}>5$ นั่นก็คือ $x_{3}\geq 6$ นั่นเอง

ให้ $x_{3}^{'}=x_{3}-6$ แทนค่าในสมการที่ 3 ได้ $x_{1}+x_{2}+x_{3}^{'}+6+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}+x_{3}^{'}+x_{4}=11$ โดยที่ $x_{3}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{3}|={11+4-1 \choose 11}\,$

หา $|A_{4}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{4}>8$ ให้เป็นสมการที่ 4

จาก $x_{4}>8$ นั่นก็คือ $x_{4}\geq 9$ นั่นเอง

ให้ $x_{4}^{'}=x_{4}-9$ แทนค่าในสมการที่ 4 ได้ $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}^{'}+9=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}^{'}=8$ โดยที่ $x_{4}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{4}|={8+4-1 \choose 8}\,$

หา $|A_{1}\cap A_{2}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{1}>3,x_{2}>4$ ให้เป็นสมการที่ 5

จาก $x_{1}>3,x_{2}>4$ นั่นก็คือ $x_{1}\geq 4,x_{2}\geq 5$ นั่นเอง

ให้ $x_{1}^{'}=x_{1}-4,x_{2}^{'}=x_{2}-5$ แทนค่าในสมการที่ 5 ได้ $x_{1}^{'}+4+x_{2}^{'}+5+x_{3}+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}^{'}+x_{2}^{'}+x_{3}+x_{4}=8$ โดยที่ $x_{1}^{'}\geq 0,x_{2}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}\cap A_{2}|={8+4-1 \choose 8}\,$

หา $|A_{1}\cap A_{3}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{1}>3,x_{3}>5$ ให้เป็นสมการที่ 6

จาก $x_{1}>3,x_{3}>5$ นั่นก็คือ $x_{1}\geq 4,x_{3}\geq 6$ นั่นเอง

ให้ $x_{1}^{'}=x_{1}-4,x_{3}^{'}=x_{3}-6$ แทนค่าในสมการที่ 6 ได้ $x_{1}^{'}+4+x_{2}+x_{3}^{'}+6+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}^{'}+x_{2}+x_{3}^{'}+x_{4}=7$ โดยที่ $x_{1}^{'}\geq 0,x_{3}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}\cap A_{3}|={7+4-1 \choose 7}\,$

หา $|A_{1}\cap A_{4}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{1}>3,x_{4}>8$ ให้เป็นสมการที่ 7

จาก $x_{1}>3,x_{4}>8$ นั่นก็คือ $x_{1}\geq 4,x_{4}\geq 9$ นั่นเอง

ให้ $x_{1}^{'}=x_{1}-4,x_{4}^{'}=x_{4}-9$ แทนค่าในสมการที่ 7 ได้ $x_{1}^{'}+4+x_{2}+x_{3}+x_{4}^{'}+9=17$

นั่นคือ $x_{1}^{'}+x_{2}+x_{3}+x_{4}^{'}=4$ โดยที่ $x_{1}^{'}\geq 0,x_{4}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}\cap A_{4}|={4+4-1 \choose 4}\,$

หา $|A_{2}\cap A_{3}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{2}>4,x_{3}>5$ ให้เป็นสมการที่ 8

จาก $x_{2}>4,x_{3}>5$ นั่นก็คือ $x_{2}\geq 5,x_{3}\geq 6$ นั่นเอง

ให้ $x_{2}^{'}=x_{2}-5,x_{3}^{'}=x_{3}-6$ แทนค่าในสมการที่ 8 ได้ $x_{1}+x_{2}^{'}+5+x_{3}^{'}+6+x_{4}=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}^{'}+x_{3}^{'}+x_{4}=6$ โดยที่ $x_{2}^{'}\geq 0,x_{3}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{1}\cap A_{3}|={6+4-1 \choose 6}\,$

หา $|A_{2}\cap A_{4}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{2}>4,x_{4}>8$ ให้เป็นสมการที่ 9

จาก $x_{2}>4,x_{4}>8$ นั่นก็คือ $x_{2}\geq 5,x_{4}\geq 9$ นั่นเอง

ให้ $x_{2}^{'}=x_{2}-5,x_{4}^{'}=x_{4}-9$ แทนค่าในสมการที่ 9 ได้ $x_{1}+x_{2}^{'}+5+x_{3}+x_{4}^{'}+9=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}^{'}+x_{3}+x_{4}^{'}=3$ โดยที่ $x_{2}^{'}\geq 0,x_{4}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{2}\cap A_{4}|={3+4-1 \choose 3}\,$

หา $|A_{3}\cap A_{4}|;x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=17$ โดยที่ $x_{3}>5,x_{4}>8$ ให้เป็นสมการที่ 10

จาก $x_{3}>5,x_{4}>8$ นั่นก็คือ $x_{3}\geq 6,x_{4}\geq 9$ นั่นเอง

ให้ $x_{3}^{'}=x_{3}-6,x_{4}^{'}=x_{4}-9$ แทนค่าในสมการที่ 10 ได้ $x_{1}+x_{2}+x_{3}^{'}+6+x_{4}^{'}+9=17$

นั่นคือ $x_{1}+x_{2}+x_{3}^{'}+x_{4}^{'}=2$ โดยที่ $x_{3}^{'}\geq 0,x_{4}^{'}\geq 0$ ด้วย

ดังนั้น $|A_{3}\cap A_{4}|={2+4-1 \choose 2}\,$

และในทำนองเดียวกันสามารถหา $|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}|,|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4}|,|A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4}|,|A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|,|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|$ ได้ด้วยวิธีเดียวกัน

ซึ่งจะได้ $|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}|={2+4-1 \choose 2}\,$

ซึ่งจะได้ $|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4}|=0\,$

ซึ่งจะได้ $|A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4}|=0\,$

ซึ่งจะได้ $|A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|=0\,$

ซึ่งจะได้ $|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|=0\,$

ดังนั้นจะได้ว่า $|B-A|={16 \choose 13}+{15 \choose 12}+{14 \choose 11}+{11 \choose 8}-{11 \choose 8}-{10 \choose 7}-{7 \choose 4}-{9 \choose 6}-{6 \choose 3}-{5 \choose 2}+{5 \choose 2}$

$|B-A|=560+445+364-120-35-84-20=1110$

ดังนั้น $|A|=1140-1110=30$ แบบ