418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 2

ข้อ 1

เนื่องจากเจ้าสาวต้องอยู่ในภาพ มีวิธีเลือกคน 5 คนจากคน 9 คนที่เหลืออยู่ ${9 \choose 5}\,$ วีธี และมีวิธีจัดคน 6 คนให้เรียงกันเพื่อถ่ายรูปอยู่ $6!\,$ วีธี ฉะนั้นมีวิธีจัดคนถ่ายรูปโดยมีเจ้าสาวทั้งหมด ${9 \choose 5}6!=90720\,$ วีธี

ข้อ 2

เนื่องจากเจ้าสาวและเจ้าบ่าวต้องอยู่ในภาพ มีวิธีเลือกคน 4 คนจากคน 8 คนที่เหลืออยู่ ${8 \choose 4}\,$ วีธี และมีวิธีจัดคน 6 คนให้เรียงกันเพื่อถ่ายรูปอยู่ $6!\,$ วีธี ฉะนั้นมีวิธีจัดคนถ่ายรูปโดยมีเจ้าสาวและเจ้าบ่าวทั้งหมด ${8 \choose 4}6!=50400\,$ วีธี

ข้อ 3

ให้ $A\,$ เป็นเซตของวิธีการจัดคนโดยให้มีเจ้าสาวอยู่ในภาพ และให้ เป็นเซตของวิธีการจัดคนโดยให้มีเจ้าบ่าวอยู่ในภาพ

โจทย์ต้องการหา $|(A\cup B)-(A\cap B)|=|A|+|B|-2|A\cap B|\,$

จากข้อ 1 เราได้ว่า $|A|=|B|={9 \choose 5}6!\,$ และจากข้อ 2 เราได้ว่า $|A\cap B|={8 \choose 4}6!\,$

ดังนั้น $|(A\cup B)-(A\cap B)|=2{9 \choose 5}6!-2{8 \choose 4}6!=2(90720-50400=80640\,$

ข้อ 4

ให้ $B\,$ แทนเจ้าสาวและให้ $G\,$ แทนเจ้าบ่าว มีวิธีจัดให้คนสองคนนี้อยู่ติดกันสองวิธีคือ เจ้าสาวอยู่ทางซ้ายของเจ้าบ่าว $BG\,$ หรือเจ้าสาวอยู่ทางขวาของเจ้าบ่าว $GB\,$

ในการเลือกคนมา 6 คนเพื่อถ่ายรูป มีวิธีเลือกคนสี่คนที่เหลืออยู่ ${8 \choose 4}\,$ วิธี

เสร็จแล้วเราจึงนำคน 6 คนที่เหลือมาเรียงเพื่อจะถ่ายรูป แต่เนื่องจากเจ้าสาวกับเจ้าบ่าวต้องอยู่ติดกัน เราจึงสามารถคิดว่าสองคนนี้เป็นคนเพียงคนเดียวได้ กล่าวคือถ้าคนคนอื่นที่เลือกมาคือ $a,b,c,d\,$ เราจะทำการเรียงสับเปลี่ยน $a,b,c,d,\,$ และ $BG\,$ หรือไม่ก็ $a,b,c,d,\,$ และ $GB\,$ เนื่องจากแต่ละกรณีมีวิธัีเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมด $5!\,$ วิธี ดังนั้นมีวิธีจัดคนถ่ายรูปทั้งหมด $2{8 \choose 4}5!=16800\,$ วิธี

ข้อ 5

จากข้อ 2 มีวิธีจัดคนถ่ายรูปที่มีเจ้าบ่าวกับเจ้าสาวอยู่ในรูปทั้งหมด 50400 วิธี

จากข้อ 4 มีวิธีจัดคนถ่ายรูปที่มีเจ้าบ่าวกับเจ้าสาวอยู่ติดกันทั้งหมด 16800 วิธี

ดังนั้นมีวิธีจัดคนถ่ายรูปโดยไม่ให้เจ้าบ่าวและเจ้าสาวอยู่ติดกันทั้งหมด 50400 - 16800 = 33600 วิธี

ข้อ 6

ให้ A เป็นเซตของวิธีจัดคนถ่ายรูปที่มีเจ้าบ่าวและเจ้าสาวอยู่ในรูป

ให้ B เป็นเซตของวิธีจัดคนถ่ายรูปที่เจ้าสาวยืนอยู่ทางด้านซ้ายของเจ้าบ่าว

กำหนดฟังก์ชัน $f:A\rightarrow B\,$ โดยที่ f ทำการสลับตำแหน่งของเจ้าบ่าวกับเจ้าสาว ให้เจ้าสาวอยู่ทางด้านซ้ายของเจ้าบ่าว ถ้าเจ้าสาวอยู่ทางด้านขวา (ถ้าเจ้าสาวอยู่ทางด้านซ้ายอยู่แล้ว ก็ไม่ต้องสลับ) ยกตัวอย่างเช่น $f(aGcBbd)=aBcGbd\,$ และ $f(abcdBG)=abcdBG\,$

เราได้ว่าฟังก์ชัน $f\,$ เป็นฟังก์ชัน 2 ต่อ 1

ดังนั้น $|B|=|A|/2=25200\,$