418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น I/เฉลยข้อ 3

ให้ $A_{i}\,$ เป็นเหตุการณ์ที่มีการโยนเหรียญออกหัวติดกันอย่างน้อย $\log _{2}n+k$ ครั้ง โดยการออกหัวติดกันนี้เริ่มจากการโยนเหรียญครั้งที่ $i\,$

เราได้ว่า $\Pr(A_{i})={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}^{\log _{2}n+k}={\frac {1}{2^{k}n}}\,$ เนื่องจากการโยนเหรียญครั้งที่ $i,i+1,i+2,\ldots ,i+\log _{2}n+k-1\,$ จะต้องออกหัวทั้งหมด

ให้ $A$ เป็นเหตุการณ์ที่มีการโยนเหรียญออกหัวติดกันอย่างน้อย $\log _{2}n+k$ ครั้ง (โดยการออกหัวติดกันนี้จะเริ่มที่การโยนเหรียญครั้งที่เท่าไหร่ก็ได้)

เราได้ว่า $A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \dotsb \cup A_{n-\log _{2}n-k+1}$

ฉะนั้น เมื่อใช้ union bound เราได้ว่า $\Pr(A)\leq Pr(A_{1})+\Pr(A_{2})+\dotsb +\Pr(A_{n-\log _{2}n+k-1})\leq n\times {\frac {1}{2^{k}n}}={\frac {1}{2^{k}}}$