418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 6

ถ้าไพ่หมายเลข $k\,$ เป็นไพ่ใบสุดท้ายที่คุณเก็บไว้เป็นใบสุดท้าย หมายความว่า

• มันจะต้องถูกเลือกเมื่อผมส่งมันให้คุณ เหตุการณ์นี้เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น ${\frac {1}{k}}\,$
• ไพ่หมายเลข $k+1\,$ ถึงใพ่หมายเลข $n\,$ จะต้องไม่ถูกเลือกเก็บไว้ โดยสำหรับไพ่หมายเลข $\ell >k\,$ มันจะไม่ถูกเลือกเก็บไว้ด้วยความน่าจะเป็น ${\frac {\ell -1}{\ell }}$

เนื่องจากการตัดสินใจเลือกเก็บไพ่ใบๆ หนึ่งๆ เอาไว้เป็นอิสระจากการตัดสินใจอื่นๆ เราได้ว่าความน่าจะเป็นที่ไพ่หมายเลข $k\,$ จะเป็นไพ่ใบสุดท้ายที่ถูกเก็บไว้ มีค่าเท่ากับ ${\frac {1}{k}}\times {\frac {k}{k+1}}\times {\frac {k+1}{k+2}}\dotsb \times {\frac {n-1}{n}}={\frac {1}{n}}$

ดังนั้นไพ่ทุกใบจึงมีโอกาสถูกเลือกเก็บไว้เป็นใบสุดท้ายเท่าๆ กัน