ข้อ 1 จงแสดงว่าข้อความต่อไปนี้เป็นจริง
ถ้า
A
{\displaystyle A\,}
∅
×
A
=
A
×
∅
{\displaystyle \emptyset \times A=A\times \emptyset }
ถ้า
A
{\displaystyle A\,}
B
{\displaystyle B\,}
A
×
B
=
B
×
A
{\displaystyle A\times B=B\times A}
เฉลย
ข้อ 2 จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์บนเซตของจำนวนเต็มบวกต่อไปนี้ มีคุณสมบัติสะท้อน สมมาตร ถ่ายทอด หรือปฏิสมมาตรหรือไม่
{
(
x
,
y
)
|
x
≠
y
}
{\displaystyle \{(x,y)\ |\ x\neq y\}}
{
(
x
,
y
)
|
x
y
≥
1
}
{\displaystyle \{(x,y)\ |\ xy\geq 1\}}
{
(
x
,
y
)
|
(
x
=
y
+
1
)
∨
(
x
=
y
−
1
)
}
{\displaystyle \{(x,y)\ |\ (x=y+1)\vee (x=y-1)\}}
{
(
x
,
y
)
|
x
≡
y
(
mod
7
)
}
{\displaystyle \{(x,y)\ |\ x\equiv y{\pmod {7}}\}}
{
(
x
,
y
)
|
x
{\displaystyle \{(x,y)\ |\ x\,}
y
}
{\displaystyle y\}\,}
{
(
x
,
y
)
|
[
(
x
<
0
)
∧
(
y
<
0
)
]
∨
[
(
x
>
0
)
∧
(
y
>
0
)
]
}
{\displaystyle \{(x,y)\ |\ [(x<0)\wedge (y<0)]\vee [(x>0)\wedge (y>0)]\}}
{
(
x
,
y
)
|
x
=
y
2
}
{\displaystyle \{(x,y)\ |\ x=y^{2}\}}
{
(
x
,
y
)
|
x
≥
y
2
}
{\displaystyle \{(x,y)\ |\ x\geq y^{2}\}}
เฉลย
ข้อ 3 จงตอบคำถามต่อไปนี้
ถ้า R เป็นความสัมพันธ์บนเซตของคนในโลก ซึ่งมีสมาชิกเป็นคู่ลำดับ (a,b) โดยที่ a เป็นบิดาหรือมารดาของ b และให้ S เป็นความสัมพันธ์ที่มีสมาชิกเป็นคู่ลำดับ (a,b) เมื่อ a และ b เป็นพี่น้องกัน แล้ว
R
∘
S
{\displaystyle R\circ S}
S
∘
R
{\displaystyle S\circ R}
ถ้า R เป็นความสัมพันธ์บนเซต {1, 2, 3, 4, 5} โดย R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 4)} จงหาค่า
R
2
{\displaystyle R^{2}}
R
3
{\displaystyle R^{3}}
R
4
{\displaystyle R^{4}}
R
5
{\displaystyle R^{5}}
เฉลย
ข้อ 4 ถ้า R เป็นความสัมพันธ์ที่แทนด้วยเมตริกซ์
M
R
=
[
0
1
1
1
1
0
1
0
1
]
{\displaystyle \mathbf {M} _{R}={\begin{bmatrix}0&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}}
จงหาเมตริกซ์ที่แทนความสัมพันธ์
R
−
1
{\displaystyle R^{-1}\,}
R
¯
{\displaystyle {\overline {R}}\,}
R
2
{\displaystyle R^{2}\,}
R
3
{\displaystyle R^{3}\,}
R
4
{\displaystyle R^{4}\,}
เฉลย
ข้อ 5 จงเขียนกราฟแบบมีทิศทางที่แทนความสัมพันธ์ต่อไปนี้ {(a, a), (a, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b)}
เฉลย
ข้อ 6 ความสัมพันธ์บนเซตของผู้คนใดต่อไปนี้เป็นความสัมพันธ์สมมูลบ้าง? ถ้าความสัมพันธ์ไหนไม่เป็น จงบอกว่ามันขาดคุณสมบัติข้อใด ถ้าความสัมพันธ์ไหนเป็น จงบอกว่า equivalence class ของมันคือเซตอะไร
{ (a, b) | a และ b มีอายุเท่ากัน }
{ (a, b) | a และ b เป็นลูกทางชีวภาพ (biological children) ของผู้ชายคนเดียวกัน }
{ (a, b) | พ่อของ a เป็นพ่อของ b ด้วย }
{ (a, b) | a เคยพบ b }
{ (a, b) | a และ b พูดภาษาเดียวกัน } เฉลย
ข้อ 7 กำหนดเซต
A
=
{
(
a
,
b
)
|
(
a
,
b
)
∈
Z
×
Z
∧
b
≠
0
}
{\displaystyle A=\{(a,b)\ |\ (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \wedge b\neq 0\}}
(
a
,
b
)
R
(
c
,
d
)
{\displaystyle (a,b)\ R\ (c,d)\,}
a
d
=
b
c
{\displaystyle ad=bc\,}
จงแสดงว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูล และอธิบายว่า equivalence class ของ R คืออะไรให้ง่ายที่สุดเท่าที่จะง่ายได้
เฉลย
ข้อ 8 [Rosen 6.5.30] ถ้า
R
1
{\displaystyle R_{1}}
R
2
{\displaystyle R_{2}}
R
1
∪
R
2
{\displaystyle R_{1}\cup R_{2}}
R
1
∩
R
2
{\displaystyle R_{1}\cap R_{2}}
R
1
⊕
R
2
{\displaystyle R_{1}\oplus R_{2}}
เฉลย
ข้อ 9 [Rosen 1.6.10] จงหาตัวอย่างของฟังก์ชันจาก
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแต่ไม่ทั่วถึง
เป็นฟังก์ชันทั่วถึงแต่ไม่หนึ่งต่อหนึ่ง
เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง (แต่ไม่ใช้ฟังก์ชันเอกลักษณ์)
ไม่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง เฉลย
ข้อ 10 [Rosen 1.6.15, 1.6.16] ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปยัง B และ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไปยัง C แล้ว
จงแสดงว่าถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้ว
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
จงแสดงว่าถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันทั่วถึง แล้ว
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
ถ้า f และ
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
เฉลย
ข้อ 11 [Rosen 1.6.38] สมมติว่า f เป็นฟังก์ชันผันกลับได้จาก A ไปยัง B และ g เป็นฟังก์ชันผันกลับได้จาก B ไปยัง C แล้ว จงแสดงว่า
(
f
∘
g
)
−
1
=
g
−
1
∘
f
−
1
{\displaystyle (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}}
เฉลย
ข้อ 12 กำหนด
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
A
R
B
{\displaystyle A\ R\ B}
จงแสดงว่า R เป็นความสัมพันธ์สมมูล
เฉลย
ข้อ 13 พิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้ แล้วแสดงว่ามันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และ/หรือ ทั่วถึงหรือไม่
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle f(x)=x+1\,}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
x
2
+
3
x
+
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x+2\,}
เฉลย
ข้อ 14 พิจารณาฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงต่อไปนี้ แล้วหาฟังก์ชันผันกลับของมัน
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
7
x
+
5
{\displaystyle f(x)=7x+5\,}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
{
2
x
3
,
x
≥
0
−
x
4
,
x
<
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}2x^{3},&x\geq 0\\-x^{4},&x<0\end{cases}}}
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }
Wikimedia Error
Error
Too many requests (f061ab2)
Wikimedia Status
เฉลย
ข้อ 15 จงแสดงว่าเซตต่อไปนี้แต่ละคู่มีสมาชิกเท่ากัน
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
Wikimedia Error
Error
Too many requests (f061ab2)
Wikimedia Status
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
Wikimedia Error
Error
Too many requests (f061ab2)
Wikimedia Status
Wikimedia Error
Error
Too many requests (f061ab2)
Wikimedia Status
Z
×
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
Wikimedia Error
Error
Too many requests (f061ab2)
Wikimedia Status
N
×
N
×
N
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
เฉลย
![{\displaystyle \{(x,y)\ |\ [(x<0)\wedge (y<0)]\vee [(x>0)\wedge (y>0)]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/352a4160b7273716d5ef2adf8ba1f945ea0755f7)
