ดูต้นฉบับสำหรับ 418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 4

== ข้อย่อย 1 ==
ข้อความ <math>B \cap C = \emptyset</math> หมายความว่าเซต <math>B \cap C</math> ไม่มีสมาชิก กล่าวคือ <math>\forall x [x \not\in B \cap C]</math> ซึ่งสมมูลกับข้อความว่า <math>\forall x [\neg(x \in B \wedge x \in C)] \equiv \forall x [x \not\in B \vee x \not\in C] \equiv \forall x [(x \in B) \rightarrow (x \not\in C)]</math>

สมมติใ้ห้ <math>x \in A</math> 

เนื่องจาก <math>A \subseteq C</math> เราได้ว่า <math>x \in C</math> ด้วย

สมมติเพื่อให้เกิดข้อขัดแย้งว่า <math>x \in B</math>

เนื่องจาก <math>x \in B</math> และ <math>\forall x [(x \in B) \rightarrow (x \not\in C)]</math> เราได้ว่า <math>x \not\in C</math>

เกิดข้อขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า <math>x \in C</math> ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่า <math>x \not\in B</math>

ดังนั้นถ้า <math>x \in A</math> แล้ว <math>x \not\in B</math>

== ข้อย่อย 2 ==
จากโจทย์ให้ <math> (A-B) \cap C = \emptyset, x \in A </math> เป็นจริง ต้องการแสดงว่า ถ้า <math> x \in C </math> แล้ว <math> x \in B </math> เป็นจริงด้วย
:สำหรับ <math> x </math> ค่าใด ๆ  จาก <math> (A-B) \cap C = \emptyset </math> หมายถึง <math> \rightharpoondown[[(x \in A) \wedge (x \notin B)]] \wedge (x \in C)] </math> สมมูลกับ  <math> \rightharpoondown[(x \in A) \wedge (x \notin B)] \vee (x \notin C) </math> สมมูลกับ <math> [(x \notin A) \vee (x \in B)] \vee (x \notin C) </math> จาก <math> x \in A, x \in C </math> จะได้ <math> [F \vee (x \in B)] \vee F </math>  ซึ่งรู้ว่าประโยคนี้จริง จะได้ว่า <math> x \in B </math> จริงด้วย 
:ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ให้ <math> (A-B) \cap C = \emptyset, x \in A </math> ถ้า <math> x \in C </math> แล้ว <math> x \in B </math>

== ข้อย่อย 3 ==
สมมติเพื่อให้เกิดข้อขัดแย้งว่า y = 0

เราจะได้ว่า 
<table cellpadding="5">
<tr>
<td align="right"><math>y+x</math></td>
<td align="center"><math>=</math></td>
<td align="left"><math>2y-x</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"><math>x</math></td>
<td align="center"><math>=</math></td>
<td align="left"><math>-x</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"><math>2x</math></td>
<td align="center"><math>=</math></td>
<td align="left"><math>0</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"><math>x</math></td>
<td align="center"><math>=</math></td>
<td align="left"><math>0</math></td>
</tr>
</table>
ฉะนั้น x และ y มีค่าเท่ากับ 0 ทั้งคู่ เกิดข้อขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า x และ y ไม่เท่ากับ 0 ทั้งคู่

ดังนั้น <math>y \neq 0</math>

== ข้อย่อย 4 ==
จากโจทย์ให้ <math> x,y </math> เป็นจำนวนจริง ต้องการแสดงว่า ถ้า <math> x \neq 0, y= \frac {3x^2+2y}{x^2+2} </math> แล้ว <math> y=3 </math>
:สมมติให้ <math> x \neq 0, y= \frac {3x^2+2y}{x^2+2} </math> เป็นจริง
:จาก <math> y= \frac {3x^2+2y}{x^2+2} </math>
:จะได้ <math> y(x^2+2)=3x^2+2y </math>
:จะได้ <math> yx^2+2y)=3x^2+2y </math>
:จะได้ <math> y=3 </math> เนื่องจาก <math> x \neq 0 </math>
:ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเมื่อให้ <math> x,y </math> เป็นจำนวนจริง ถ้า <math> x \neq 0, y= \frac {3x^2+2y}{x^2+2} </math> แล้ว <math> y=3 </math>