ดูต้นฉบับสำหรับ 418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการวิเคราะห์เชิงการจัด/เฉลยข้อ 10

ให้ B เป็นเซตของคำตอบทั้งหมดของสมการ

จะได้ว่า <math> |B|= {17+4-1 \choose 17}=1140 \,</math>

ให้ A เป็นเซตของคำตอบของสมการโดยที่ <math> x_1 \leq 3, x_2 \leq 4, x_3 \leq 5, x_4 \leq 8 </math>

จะได้ว่า B-A คือเซตของคำตอบทั้งหมดของสมการที่ <math> x_1 > 3 </math> หรือ <math> x_/ > 4 </math> หรือ <math> x_3 > 5 </math> หรือ <math> x_4 > 8 </math>

ให้ <math> A_1 </math> เป็นเซตคำตอบของสมการที่ <math> x_1 > 3 </math>

<math> A_2 </math> เป็นเซตคำตอบของสมการที่ <math> x_2 > 4 </math>

<math> A_3 </math> เป็นเซตคำตอบของสมการที่ <math> x_3 > 5 </math>

<math> A_4 </math> เป็นเซตคำตอบของสมการที่ <math> x_4 > 8 </math>

<table>
<tr>
<td align="right"><math> |B-A| \, </math> </td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math>= \,</math></td>
<td align="left"><math>|A_1| + |A_2| + |A_3| + |A_4| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_1 \cap A_4|- |A_2 \cap A_3| - |A_2 \cap A_4|- |A_3 \cap A_4| +  |A_1 \cap A_2 \cap A_3|\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="right"></td>
<td align="center"><math> \,</math></td>
<td align="left"> <math> +  |A_1 \cap A_2 \cap A_4| +  |A_1 \cap A_3 \cap A_4|+  |A_2 \cap A_3 \cap A_4| - |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4|  \,</math></td>
</tr>
</table>

หา <math> |A_1|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_1 > 3 </math> ให้เป็นสมการที่ 1

จาก <math> x_1 > 3 </math> นั่นก็คือ <math> x_1 \geq 4 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_1^' = x_1 -4 </math> แทนค่าในสมการที่ 1 ได้ <math> x_1^'+4+x_2+x_3+x_4=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1^'+x_2+x_3+x_4=13 </math> โดยที่ <math> x_1^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_1|={13+4-1 \choose 13} \,</math>


หา <math> |A_2|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_2 > 4 </math> ให้เป็นสมการที่ 2

จาก <math> x_2 > 4 </math> นั่นก็คือ <math> x_2 \geq 5 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_2^' = x_2 -5 </math> แทนค่าในสมการที่ 2 ได้ <math> x_1+x_2^'+5+x_3+x_4=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1+x_2^'+x_3+x_4=12 </math> โดยที่ <math> x_2^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_2|={12+4-1 \choose 12} \,</math>


หา <math> |A_3|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_3 > 5 </math> ให้เป็นสมการที่ 3

จาก <math> x_3 > 5 </math> นั่นก็คือ <math> x_3 \geq 6 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_3^' = x_3 -6 </math> แทนค่าในสมการที่ 3 ได้ <math> x_1+x_2+x_3^'+6+x_4=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1+x_2+x_3^'+x_4=11 </math> โดยที่ <math> x_3^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_3|={11+4-1 \choose 11} \,</math>


หา <math> |A_4|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_4 > 8 </math> ให้เป็นสมการที่ 4

จาก <math> x_4 > 8 </math> นั่นก็คือ <math> x_4 \geq 9 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_4^' = x_4 -9 </math> แทนค่าในสมการที่ 4 ได้ <math> x_1+x_2+x_3+x_4^'+9=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1+x_2+x_3+x_4^'=8 </math> โดยที่ <math> x_4^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_4|={8+4-1 \choose 8} \,</math>


หา <math> |A_1 \cap A_2|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_1 > 3, x_2 >4 </math> ให้เป็นสมการที่ 5

จาก <math> x_1 > 3, x_2 > 4 </math> นั่นก็คือ <math> x_1 \geq 4, x_2 \geq 5 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_1^' = x_1 -4, x_2^' = x_2 -5 </math> แทนค่าในสมการที่ 5 ได้ <math> x_1^'+4+x_2^'+5+x_3+x_4=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1^'+x_2^'+x_3+x_4=8 </math> โดยที่ <math> x_1^' \geq 0, x_2^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_1 \cap A_2|={8+4-1 \choose 8} \,</math>


หา <math> |A_1 \cap A_3|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_1 > 3, x_3 >5 </math> ให้เป็นสมการที่ 6

จาก <math> x_1 > 3, x_3 > 5 </math> นั่นก็คือ <math> x_1 \geq 4, x_3 \geq 6 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_1^' = x_1 -4, x_3^' = x_3 -6 </math> แทนค่าในสมการที่ 6 ได้ <math> x_1^'+4+x_2+x_3^'+6+x_4=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1^'+x_2+x_3^'+x_4=7 </math> โดยที่ <math> x_1^' \geq 0, x_3^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_1 \cap A_3|={7+4-1 \choose 7} \,</math>


หา <math> |A_1 \cap A_4|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_1 > 3, x_4 >8 </math> ให้เป็นสมการที่ 7

จาก <math> x_1 > 3, x_4 > 8 </math> นั่นก็คือ <math> x_1 \geq 4, x_4 \geq 9 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_1^' = x_1 -4, x_4^' = x_4 -9 </math> แทนค่าในสมการที่ 7 ได้ <math> x_1^'+4+x_2+x_3+x_4^'+9=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1^'+x_2+x_3+x_4^'=4 </math> โดยที่ <math> x_1^' \geq 0, x_4^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_1 \cap A_4|={4+4-1 \choose 4} \,</math>


หา <math> |A_2 \cap A_3|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_2 > 4, x_3 >5 </math> ให้เป็นสมการที่ 8

จาก <math> x_2 > 4, x_3 > 5 </math> นั่นก็คือ <math> x_2 \geq 5, x_3 \geq 6 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_2^' = x_2 -5, x_3^' = x_3 -6 </math> แทนค่าในสมการที่ 8 ได้ <math> x_1+x_2^'+5+x_3^'+6+x_4=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1+x_2^'+x_3^'+x_4=6 </math> โดยที่ <math> x_2^' \geq 0, x_3^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_1 \cap A_3|={6+4-1 \choose 6} \,</math>


หา <math> |A_2 \cap A_4|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_2 > 4, x_4 >8 </math> ให้เป็นสมการที่ 9

จาก <math> x_2 > 4, x_4 > 8 </math> นั่นก็คือ <math> x_2 \geq 5, x_4 \geq 9 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_2^' = x_2 -5, x_4^' = x_4 -9 </math> แทนค่าในสมการที่ 9 ได้ <math> x_1+x_2^'+5+x_3+x_4^'+9=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1+x_2^'+x_3+x_4^'=3 </math> โดยที่ <math> x_2^' \geq 0, x_4^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_2 \cap A_4|={3+4-1 \choose 3} \,</math>



หา <math> |A_3 \cap A_4|; x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =17 </math> โดยที่ <math> x_3 > 5, x_4 >8 </math> ให้เป็นสมการที่ 10

จาก <math> x_3 > 5, x_4 > 8 </math> นั่นก็คือ <math> x_3 \geq 6, x_4 \geq 9 </math> นั่นเอง

ให้ <math> x_3^' = x_3 -6, x_4^' = x_4 -9 </math> แทนค่าในสมการที่ 10 ได้ <math> x_1+x_2+x_3^'+6+x_4^'+9=17 </math>

นั่นคือ <math> x_1+x_2+x_3^'+x_4^'=2 </math> โดยที่ <math> x_3^' \geq 0, x_4^' \geq 0 </math> ด้วย

ดังนั้น <math> |A_3 \cap A_4|={2+4-1 \choose 2} \,</math>


และในทำนองเดียวกันสามารถหา <math> |A_1 \cap A_2 \cap A_3|,|A_1 \cap A_2 \cap A_4|,|A_1 \cap A_3 \cap A_4|,|A_2 \cap A_3 \cap A_4|, |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4| </math> ได้ด้วยวิธีเดียวกัน

ซึ่งจะได้ <math> |A_1 \cap A_2 \cap A_3|= {2+4-1 \choose 2} \,</math>

ซึ่งจะได้ <math> |A_1 \cap A_2 \cap A_4|= 0\,</math>

ซึ่งจะได้ <math> |A_1 \cap A_3 \cap A_4|= 0 \,</math>

ซึ่งจะได้ <math> |A_2 \cap A_3 \cap A_4|= 0 \,</math>

ซึ่งจะได้ <math> |A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4|= 0\,</math>

ดังนั้นจะได้ว่า <math>|B-A|={16 \choose 13}+ {15 \choose 12}+ {14 \choose 11}+{11 \choose 8}-{11 \choose 8}-{10 \choose 7}-{7 \choose 4}-{9 \choose 6}-{6 \choose 3}-{5 \choose 2}+{5 \choose 2}</math>

<math>|B-A|=560+445+364-120-35-84-20= 1110</math>

ดังนั้น <math> |A| =1140-1110= 30</math> แบบ