204512-53/lecture1

บันทึกคำบรรยายวิชา 204512-53 นี้ เป็นบันทึกที่นิสิตเขียนขึ้น เนื้อหาโดยมากยังไม่ผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียด การนำไปใช้ควรระมัดระวัง

จดบันทึกคำบรรยายโดย: (กรุณาใส่ด้วย) Algorithm Lecture #1

Course Information

รายละเอียดวิชาสามารถดูได้ที่ http://www.cpe.ku.ac.th/~jtf/wiki/doku.php?id=01204512-53

เกณฑ์การให้คะแนน

• Homework 15%
• Project 15%
• Scribe Note 5%
• Mid-Term 2 Times 20*2%
• Final 25%

Introduction to Algorithm

ทำไมเราต้องวิเคราะห์อัลกอริทึม

• เพื่อความถูกต้องของอัลกอริทึม - ต้องการความแน่ใจ
• เพื่อประสิทธิภาพของอัลกอริทึม
  • เวลา (time)
  • พื้นที่ (space)
  • คุณภาพคำตอบ (quality)

เนื้อหาแต่ละบทที่จะสอน ตามลำดับ

1. Data Structure
2. Graph Algorithm
3. Dynamic Programming
4. Linear Programming
5. Randomize Algorithm

Data Structure

ตัวอย่างปัญหาที่ 1

การจองอาเรย์ให้เหมาะสมกับขนาดข้อมูลที่บรรจุ โดยกำหนดให้มีขั้นตอน การทำงานดังนี้

1. จองพื้นที่สำหรับใส่ของ
2. นำของไปใส่จนเต็ม
3. จองพื้นที่เพิ่มสำหรับใส่ของ

กรณี 1: จองแบบเพิ่มทีละ 1 ที่

จากภาพการเก็บ สามารถวิเคราะห์ได้ว่า

• การจองใช้เวลา 1 หน่วย
• การคัดลอกต้องคัดลอก i - 1 ตัวดังนั้นใช้เวลา i - 1 หน่วย
• การนำข้อมูลใหม่ไปใส่ใช้เวลาอีก 1 หน่วย

จะเห็นได้ว่าในการสร้างอาเรย์เก็บข้อมูล n ตัวจะต้องใช้เวลาทั้งหมด

= $2+3+4+...+n+n+1$ หน่วย
= $2+3+4+...+n+n+1$ หน่วย
= $(1+2+3+...+n)+n$ หน่วย

ดังนั้นการถ้ามีข้อมูล n ตัวจะได้ว่าต้องใช้ ${\frac {n*(n+1)+n}{2}}$ หน่วย หรือ O($n^{2}$)

กรณี 2: จองแบบเพิ่มทีละ 3 ที่

จากภาพการเก็บ สามารถวิเคราะห์ได้ว่าจะยังได้ผลลัพธ์ไม่ต่างจากเดิมมาก คือ O($n^{2}$) โดย n ในที่นี้เทียบได้กับ ${\frac {n}{3}}$ ของตัวอย่างบน มาจาก $n+3*{\frac {n*(n+1)}{2}}+3*n$ ซึ่งมี factor 3 เพิ่มเข้ามา

กรณี 3: จองแบบเพิ่มทีละ $2^{k}$ ที่

ต่อมามีคนเสนอว่าถ้าลองจองเป็นแบบ $2^{k}$ โดยที่ k หมายถึงการจองครั้งที่ k และค่า k เริ่มต้นจาก 0 เพื่อเป็นการตัดปัญหา ว่ากรณ๊ถ้าจองไม่เต็มจะทำอย่างไร เราจึงสมมุติไปเลยว่าการจองที่ n นั้นจะต้องจอง $n=2^{k}$ โดย k นั้นคือเลขจำนวนเต็มใดๆที่มากกว่า 0 ซึ่งถ้า $n<2^{k}$ อาจหมายถึงการแถมเวลาให้เต็ม $n=2^{k}$ เลยก็ได้

จากภาพการเก็บ สามารถวิเคราะห์ได้ว่า

• จะได้ว่ามีการจองข้อมูลเกิดขึ้นทั้งหมด k ครั้ง
• มีการเขียนข้อมูล $n(2^{k})$ ครั้ง
• มีการคัดลอกข้อมูล $1+2+4+8+...+2^{k-1}=(2^{k})-1$ (มองง่ายๆให้มองเป็นการบวกเลข binary)

ดังนั้นจะได้ k$+2^{k}+2^{k}-1=O(n)$

ตัวอย่างปัญหาที่ 2

ในแต่ละ Network (เครือข่าย) ประกอบไปด้วยส่วนหลักๆ คือ Router, Client และ Routing table เราต้องการเรียนรู้การเชื่อมต่อของ Router แต่ละตัวเพื่อบันทึกใน Routing table การคิดวิธีการเพื่อแก้ปัญหา เราจะต้อง Assume (สมมติ) อย่างน้อยว่าการทำงานของระบบจะสำเร็จในสักวัน, ระบบมีความก้าวหน้า, ก้าวหน้ามากพอที่จะสำเร็จในช่วงเวลาที่รับได้ และสมมติฐานในปัจจัยอื่นๆ

การ ออกแบบ Routing table แบบ RIP

• Assume ว่า Router ทุกตัวทำการ Broadcast (กระจายสัญญาณไปหาทุกตัว) พร้อมกัน และ Router ทุกตัวรู้จักตัวเอง ในที่นี้ให้ค่าระยะของเส้นเชื่อม (edge) เท่ากับ 1 หน่วย
• RIP เป็นการหาเส้นเชื่อมระหว่าง Router เพื่อให้สื่อสารถึงกันได้ทั้งหมด โดยมีค่าระยะทางน้อยที่สุด
• ในการคิดครั้งนี้จะคิดโดยใช้ Router A เป็นโหนดตั้งต้น แล้วค้นหา Router ตัวอื่นที่อยู่รอบๆ

กำหนดให้

• Set ของโหนด ทั้งหมด แทนด้วย V จะได้ว่า V = {A, B, C, ..., H}
• Set ของเส้นเชื่อม ทั้งหมด แทนด้วย E จะได้ว่า E = {(A,D), (A,B), (A,E), ..., (F,H)}
• Set ของโหนด ที่อยู่ในชั้น n (ติดต่อกับ A ด้วยระยะทาง n หน่วย) แทนด้วย Ln

จะได้ว่า

L0 = {A}, L1 = {v e V-L0 | มี node u ที่ u e L0 และ (u,v) e E}

ดังนั้นสำหรับค่า i ใดๆ ที่ i > 0, Li = {v e V - (ตั้งแต่ L0 จน Li - 1) | มี node u ที่ u e Li - 1 และ (u,v) e E} โดย กำหนดให้ L0={A}

ตัวอย่างปัญหาที่ 3

สำหรับลำดับจำนวนเต็ม i ใดๆ "P(i) ที่ $1+3+5+9+...+(2i-1)=i^{2}$"

การพิสูจน์โดยใช้วิธี Induction นั้นแบ่งเป็น 2 ส่วนคือ

1. Basic step (Base case) ซึ่งเป็นจุดกำหนิดของตัวแรกของการคิด ส่วนใหญ่คือค่า 0 หรือ 1 โดยส่วนมากมักจะมีค่าจริงอยู่แล้ว
2. Inductive step โดยจะสมมติให้ P(i) มีค่าเป็นจริง แล้วต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า P(i + 1) นั้นมีค่าเป็นจริง

วิธีการแก้ปัญหาในตัวอย่างนี้

Basic Step

$P(1)=1=1^{2}$ มีค่าเป็นจริง

Inductive Step

ถ้าให้ P(i) ที่ $1+3+5+9+...+(2i-1)=i^{2}$ เป็นจริงแล้ว ต้องพิสูจน์ว่า $P(i+1)$ ที่ $1+3+5+9+...+(2(i+1)-1)=(i+1)^{2}$ เป็นจริง

$P(i+1)=P(i)+(2(i+1)-1)=P(i)+2i+1$

แทนค่า $P(i)=i^{2}$ จะได้ $P(i+1)=i^{2}+2i+1=(i+1)^{2}$

แสดงว่า $P(i+1)$ ที่ $1+3+5+9+...+(2(i+1)-1)=(i+1)^{2}$ เป็นจริง

เพราะฉะนั้นพิสูจน์ ได้ว่า สำหรับลำดับจำนวนเต็ม i ใดๆ "P(i) ที่ $1+3+5+9+...+(2i-1)=i^{2}$" เป็นจริง โดยใช้วิธีพิสูจน์แบบ induction

ตัวอย่างปัญหาที่ 4

ปัญหาการระบายสี Planar Graph ให้แต่ละเมืองแทนด้วยโหนด และเมืองที่มีอาณาเขตติดกันให้ลากเส้นเชื่อมติดต่อกัน

• ทฤษฎีบท 4 สี - สามารถระบายสีโดยใช้สีไม่เกิน 4 สีบน Planar Graph
• ทฤษฎีบท 5 สี - สามารถระบายสีโดยใช้สีไม่เกิน 5 สีบน Planar Graph

การพิสูจน์ทฤษฎีบท 5 สี

กำหนดให้

• n แทนจำนวนโหนดในกราฟ
• m แทนจำนวนเส้นเชื่อมในกราฟ
• f แทนจำนวนหน้า (face)
• degree(v) แทนดีกรีของโหนด v (ดีกรีของโหนด = จำนวนเส้นเชื่อมที่เชื่อมกับโหนดอื่นๆ ไม่นับเส้นเชื่อมวกกลับเข้าหาตัวเอง)

จากความจริงที่ว่า E(v ∈ G) degree(v) = 2*m (ค่ารวมของค่าดีกรีของทุกโหนด จะเป็นสองเท่าของจำนวนเส้นเชื่อมทั้งหมดในกราฟ)

• Assume: n-m+f = 2
• ลองให้ f = 3; $3*f<=2m$, $f<={\tfrac {2*m}{3}}$, $n-m-2<=2*m$