ผลต่างระหว่างรุ่นของ "Sgt/lecture2"

จาก Theory Wiki
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
(หน้าที่ถูกสร้างด้วย 'สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกั...')
 
แถว 1: แถว 1:
 
สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของ eigen vector, eigen value ลำดับที่ 2
 
สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของ eigen vector, eigen value ลำดับที่ 2
  
นิยาม [http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient Rayleigh quotient] สำหรับ vector ''x'' และ symmetric matrix ''M'' เขียนแทนด้วย ''R(M,x)'' คือ
+
นิยาม [http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient Rayleigh quotient] สำหรับ vector ''x'' และ symmetric matrix ''M'' เขียนแทนด้วย <math>R(M, x)</math> คือ <math>\frac{x^TMx}{x^Tx}</math>
 
 
<math>\frac{x^TMx}{x^Tx}</math>
 
 
 
 
โดยสังเกตว่าถ้า ''x'' เป็น eigen vector ของ ''M'' ค่า Rayleigh quotient จะมีค่าเป็น eigen value ที่สอดคล้องกับ ''x''
 
โดยสังเกตว่าถ้า ''x'' เป็น eigen vector ของ ''M'' ค่า Rayleigh quotient จะมีค่าเป็น eigen value ที่สอดคล้องกับ ''x''
เนื่องจาก
+
เนื่องจาก<math>R(M,x) = \frac{x^T(Mx)}{x^Tx} = \frac{x^T(\lambda x)}{x^Tx} = \frac{\lambda(x^Tx)}{x^Tx} = \lambda</math>
 
 
<math>R(M,x) = \frac{x^T(Mx)}{x^Tx} = \frac{x^T(\lambda x)}{x^Tx} = \frac{\lambda(x^Tx)}{x^Tx} = \lambda</math>
 
  
และเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า
+
และเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า "ให้ <math>M</math> เป็น symmetric matrix ถ้า <math>x</math> เป็น non-zero vector ที่ทำให้ <math>R(M,x)</math> มีค่ามากที่สุด แล้ว <math>x</math> จะเป็น eigen vector ของ <math>M</math> ที่สอดคล้องกับ eigen value ที่มากที่สุด"
  
"ให้ ''M'' เป็น symmetric matrix ถ้า ''x'' เป็น non-zero vector ที่ทำให้ ''R(M,x)'' มีค่ามากที่สุด แล้ว ''x'' จะเป็น eigen vector ของ M ที่สอดคล้องกับ eigen value ที่มากที่สุดของ ''M''"
+
เราจะพิสูจน์โดยการใช้ [http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theory Spectral theory] ([[sgt/lecture1|เนื้อหาครั้งที่ 1]])
 +
ให้ ''M'' มี dimension ขนาด ''n'' (symmetric) ได้ว่า ''M'' มี eigen value
 +
<math>\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \ldots \leq \lambda_n</math>
 +
และ eigen vector <math>\phi_i</math> ที่สอดคล้องกับ <math>\lambda_i</math>
 +
เพื่อความสะดวก เราให้ว่า ||''x''|| = 1 และ ||<math>\phi_i</math>|| = 1 สำหรับทุก ''i''
 +
และเราสามารถเขียน ''x'' ในรูป <math>x = \sum\limits_{i=1}^n (\phi_i^T \cdot x)\phi_i</math>

รุ่นแก้ไขเมื่อ 04:27, 26 มกราคม 2558

สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของ eigen vector, eigen value ลำดับที่ 2

นิยาม Rayleigh quotient สำหรับ vector x และ symmetric matrix M เขียนแทนด้วย คือ โดยสังเกตว่าถ้า x เป็น eigen vector ของ M ค่า Rayleigh quotient จะมีค่าเป็น eigen value ที่สอดคล้องกับ x เนื่องจาก

และเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า "ให้ เป็น symmetric matrix ถ้า เป็น non-zero vector ที่ทำให้ มีค่ามากที่สุด แล้ว จะเป็น eigen vector ของ ที่สอดคล้องกับ eigen value ที่มากที่สุด"

เราจะพิสูจน์โดยการใช้ Spectral theory (เนื้อหาครั้งที่ 1) ให้ M มี dimension ขนาด n (symmetric) ได้ว่า M มี eigen value และ eigen vector ที่สอดคล้องกับ เพื่อความสะดวก เราให้ว่า ||x|| = 1 และ |||| = 1 สำหรับทุก i และเราสามารถเขียน x ในรูป