418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาการพิสูจน์ I/เฉลยข้อ 4

ข้อย่อย 1

ข้อความ $B\cap C=\emptyset$ หมายความว่าเซต $B\cap C$ ไม่มีสมาชิก กล่าวคือ $\forall x[x\not \in B\cap C]$ ซึ่งสมมูลกับข้อความว่า $\forall x[\neg (x\in B\wedge x\in C)]\equiv \forall x[x\not \in B\vee x\not \in C]\equiv \forall x[(x\in B)\rightarrow (x\not \in C)]$

สมมติใ้ห้ $x\in A$

เนื่องจาก $A\subseteq C$ เราได้ว่า $x\in C$ ด้วย

สมมติเพื่อให้เกิดข้อขัดแย้งว่า $x\in B$

เนื่องจาก $x\in B$ และ $\forall x[(x\in B)\rightarrow (x\not \in C)]$ เราได้ว่า $x\not \in C$

เกิดข้อขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า $x\in C$ ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่า $x\not \in B$

ดังนั้นถ้า $x\in A$ แล้ว $x\not \in B$

ข้อย่อย 2

จากโจทย์ให้ $(A-B)\cap C=\emptyset ,x\in A$ เป็นจริง ต้องการแสดงว่า ถ้า $x\in C$ แล้ว $x\in B$ เป็นจริงด้วย

สำหรับ $x$ ค่าใด ๆ จาก $(A-B)\cap C=\emptyset$ หมายถึง $\rightharpoondown [[(x\in A)\wedge (x\notin B)]]\wedge (x\in C)]$ สมมูลกับ $\rightharpoondown [(x\in A)\wedge (x\notin B)]\vee (x\notin C)$ สมมูลกับ $[(x\notin A)\vee (x\in B)]\vee (x\notin C)$ จาก $x\in A,x\in C$ จะได้ $[F\vee (x\in B)]\vee F$ ซึ่งรู้ว่าประโยคนี้จริง จะได้ว่า $x\in B$ จริงด้วย

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ให้ $(A-B)\cap C=\emptyset ,x\in A$ ถ้า $x\in C$ แล้ว $x\in B$

ข้อย่อย 3

สมมติเพื่อให้เกิดข้อขัดแย้งว่า y = 0

เราจะได้ว่า

$y+x$	$=$	$2y-x$
$x$	$=$	$-x$
$2x$	$=$	$0$
$x$	$=$	$0$

ฉะนั้น x และ y มีค่าเท่ากับ 0 ทั้งคู่ เกิดข้อขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่า x และ y ไม่เท่ากับ 0 ทั้งคู่

ดังนั้น $y\neq 0$

ข้อย่อย 4

จากโจทย์ให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริง ต้องการแสดงว่า ถ้า $x\neq 0,y={\frac {3x^{2}+2y}{x^{2}+2}}$ แล้ว $y=3$

สมมติให้ $x\neq 0,y={\frac {3x^{2}+2y}{x^{2}+2}}$ เป็นจริง

จาก $y={\frac {3x^{2}+2y}{x^{2}+2}}$

จะได้ $y(x^{2}+2)=3x^{2}+2y$

จะได้ $yx^{2}+2y)=3x^{2}+2y$

จะได้ $y=3$ เนื่องจาก $x\neq 0$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าเมื่อให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $x\neq 0,y={\frac {3x^{2}+2y}{x^{2}+2}}$ แล้ว $y=3$