ผลต่างระหว่างรุ่นของ "418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II"
(→ข้อ 1) |
Cardcaptor (คุย | มีส่วนร่วม) (→ข้อ 3) |
||
| (ไม่แสดง 8 รุ่นระหว่างกลางโดยผู้ใช้ 3 คน) | |||
| แถว 1: | แถว 1: | ||
== ข้อ 1 == | == ข้อ 1 == | ||
| − | [Mitzenmacher & Upfal 2.2] ลิงตัวหนึ่งพิมพ์แป้นพิมพ์ดีดที่มีแป้นพิมพ์อยู่ 26 ตัวซึ่งตรงกับตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กทั้ง 26 ตัว โดยที่ตัวอักษรที่ลิงพิมพ์แต่ละตัวถูกเลือกขึ้นมาอย่างๆ สุ่มๆ โดยที่ตัวอักษรแต่ละตัวมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน และการพิมพ์แต่ละครั้งเป็นอิสระจากการพิมพ์ครั้งอื่นๆ ถ้าลิืงพิมพ์ตัวอักษรไปทั้งหมด 1,000,000 | + | [Mitzenmacher & Upfal 2.2] ลิงตัวหนึ่งพิมพ์แป้นพิมพ์ดีดที่มีแป้นพิมพ์อยู่ 26 ตัวซึ่งตรงกับตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กทั้ง 26 ตัว โดยที่ตัวอักษรที่ลิงพิมพ์แต่ละตัวถูกเลือกขึ้นมาอย่างๆ สุ่มๆ โดยที่ตัวอักษรแต่ละตัวมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน และการพิมพ์แต่ละครั้งเป็นอิสระจากการพิมพ์ครั้งอื่นๆ ถ้าลิืงพิมพ์ตัวอักษรไปทั้งหมด 1,000,000 ตัวอักษร จงหาจำนวนที่คำว่า "proof" จะปรากฎอยู่ในข้อความที่ลิงพิมพ์ออกมานี้ |
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 1|เฉลย]] | ||
== ข้อ 2 == | == ข้อ 2 == | ||
| แถว 8: | แถว 10: | ||
# <math>E[X_1\ |\ X = 9] \,</math> | # <math>E[X_1\ |\ X = 9] \,</math> | ||
# <math>E[X_1 - X_2 \ |\ X = k] \,</math> เมื่อ k อยู่ในช่วง [2, 12] | # <math>E[X_1 - X_2 \ |\ X = k] \,</math> เมื่อ k อยู่ในช่วง [2, 12] | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 2|เฉลย]] | ||
== ข้อ 3 == | == ข้อ 3 == | ||
| แถว 15: | แถว 19: | ||
# จงหา <math>\Pr(\min(X,Y) = k)\,</math> | # จงหา <math>\Pr(\min(X,Y) = k)\,</math> | ||
# จงหา <math>E[X\ |\ X \leq Y]\,</math> | # จงหา <math>E[X\ |\ X \leq Y]\,</math> | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 3|เฉลย]] | ||
== ข้อ 4 == | == ข้อ 4 == | ||
| แถว 21: | แถว 27: | ||
# ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาจากกองเลยโดยเฉลี่ย | # ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาจากกองเลยโดยเฉลี่ย | ||
# ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ถูกดึงออกมาจากกองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น | # ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ถูกดึงออกมาจากกองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 4|เฉลย]] | ||
== ข้อ 5 == | == ข้อ 5 == | ||
[Mitzenmacher & Upfal 2.14] โยนเหรียญถ่วงน้ำหนักที่ขึ้นหัวด้วยความน่าจะเป็น p ไปเรื่อยๆ ให้ X เป็นจำนวนการโยนเหรียนจนกระทั่งหัวครั้งที่ k ออกมา จงแสดงว่า <math>\Pr(X = n) = {n-1 \choose k-1} p^k (1-p)^{n-k} \,</math> | [Mitzenmacher & Upfal 2.14] โยนเหรียญถ่วงน้ำหนักที่ขึ้นหัวด้วยความน่าจะเป็น p ไปเรื่อยๆ ให้ X เป็นจำนวนการโยนเหรียนจนกระทั่งหัวครั้งที่ k ออกมา จงแสดงว่า <math>\Pr(X = n) = {n-1 \choose k-1} p^k (1-p)^{n-k} \,</math> | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 5|เฉลย]] | ||
== ข้อ 6 == | == ข้อ 6 == | ||
| แถว 29: | แถว 39: | ||
จงแสดงไพ่ท้ายสุดเลย ไพ่ทุกใบมีโอกาสที่จะเป็นไพ่ที่คุณเก็บไว้ใบสุดท้ายเท่าๆ กัน | จงแสดงไพ่ท้ายสุดเลย ไพ่ทุกใบมีโอกาสที่จะเป็นไพ่ที่คุณเก็บไว้ใบสุดท้ายเท่าๆ กัน | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 6|เฉลย]] | ||
== ข้ัอ 7 == | == ข้ัอ 7 == | ||
| แถว 37: | แถว 49: | ||
จงหา <math>E \bigg[ \sum_{i=1}^n |a_i - i| \bigg] </math> ซึ่งมีค่าเท่ากับระยะทางที่เลขทุกตัวจะถูกเลื่อนโดยเฉลี่ย | จงหา <math>E \bigg[ \sum_{i=1}^n |a_i - i| \bigg] </math> ซึ่งมีค่าเท่ากับระยะทางที่เลขทุกตัวจะถูกเลื่อนโดยเฉลี่ย | ||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 7|เฉลย]] | ||
== ข้่อ 8 == | == ข้่อ 8 == | ||
| แถว 47: | แถว 60: | ||
# จงหา <math>E[Y_n]</math> และ <math>\mathrm{Var}[Y_n]</math> | # จงหา <math>E[Y_n]</math> และ <math>\mathrm{Var}[Y_n]</math> | ||
# จงใ้ช้อสมการของมาร์คอฟและอสมกาารของเชบิเชฟหาขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่คุณจะไม่ขาดทุน | # จงใ้ช้อสมการของมาร์คอฟและอสมกาารของเชบิเชฟหาขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่คุณจะไม่ขาดทุน | ||
| + | |||
| + | [[418531 ภาคต้น 2552/โจทย์ปัญหาความน่าจะเป็น II/เฉลยข้อ 8|เฉลย]] | ||
รุ่นแก้ไขปัจจุบันเมื่อ 08:13, 4 สิงหาคม 2552
ข้อ 1
[Mitzenmacher & Upfal 2.2] ลิงตัวหนึ่งพิมพ์แป้นพิมพ์ดีดที่มีแป้นพิมพ์อยู่ 26 ตัวซึ่งตรงกับตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กทั้ง 26 ตัว โดยที่ตัวอักษรที่ลิงพิมพ์แต่ละตัวถูกเลือกขึ้นมาอย่างๆ สุ่มๆ โดยที่ตัวอักษรแต่ละตัวมีโอกาสได้รับเลือกเท่าๆ กัน และการพิมพ์แต่ละครั้งเป็นอิสระจากการพิมพ์ครั้งอื่นๆ ถ้าลิืงพิมพ์ตัวอักษรไปทั้งหมด 1,000,000 ตัวอักษร จงหาจำนวนที่คำว่า "proof" จะปรากฎอยู่ในข้อความที่ลิงพิมพ์ออกมานี้
ข้อ 2
[Mitzenmacher & Upfal 2.6] โยนลูกเต๋าไม่ถ่วงน้ำหนักหนึ่งลูกสองครั้ง แต่ละครั้งเป็นอิสระจากกัน ให้ เป็นแต้มของการโยนครั้งแรก เป็นแต้มของการโยนครั้งที่สอง และให้ เป็นผลบวกของแต้มทั้งสอง จงหาค่า
- เมื่อ k อยู่ในช่วง [2, 12]
![{\displaystyle E[X\ |\ X_{1}{\mbox{ is even}}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de000b9b7a067592e1a45453fd5e72de2c3e4c63)
![{\displaystyle E[X\ |\ X_{1}=X_{2}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675a0d489235ce9db93a14b0ac9e25e56345fef2)
![{\displaystyle E[X_{1}\ |\ X=9]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48662db2c4609cdd342eed9e055086a612684250)
![{\displaystyle E[X_{1}-X_{2}\ |\ X=k]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e79dfd4d1e31b0400b816446a221f0fc4e34935)
ข้อ 3
[Mitzenmacher & Upfal 2.7] ให้ X และ Y เป็น geometric random variable ที่เป็นอิสระจากกัน โดยที่ X มี parameter p และ Y มี parameter q
- จงหาความน่าจะเป็นที่ X = Y
- จงหา
- จงหา
- จงหา
![{\displaystyle E[\max(X,Y)]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07aef3d7becd38298f7e372cc7373ff8cd1c6980)
![{\displaystyle E[X\ |\ X\leq Y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86f7a73adcec14351051812682857886468266a9)
ข้อ 4
[Mitzenmacher & Upfal 2.12] เราทำการดึงไพ่อย่างสุ่มๆ ออกจากกองไพ่ที่มีไพ่อยู่ n ใบ โดยเมื่อดึงออกมาแล้วใส่กลับเข้าไปในกองใหม่
- เราจะต้ัองดึงไพ่ออกมาประมาณกี่ครั้งจนกว่าจะเราเคยเห็นไพ่ครบทั้ง n ใบ
- ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ไม่เคยถูกดึงออกมาจากกองเลยโดยเฉลี่ย
- ถ้าเราทำการดึงไพ่ออกมา 2n ครั้ง จงหาจำนวนไพ่ที่ถูกดึงออกมาจากกองเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
ข้อ 5
[Mitzenmacher & Upfal 2.14] โยนเหรียญถ่วงน้ำหนักที่ขึ้นหัวด้วยความน่าจะเป็น p ไปเรื่อยๆ ให้ X เป็นจำนวนการโยนเหรียนจนกระทั่งหัวครั้งที่ k ออกมา จงแสดงว่า
ข้อ 6
[Mitzenmacher & Upfal 2.18] พิจารณากระบวนการสุ่มต่อไปนี้: มีไพ่อยู่ n ใบ ซึ่งมีหมายเลข 1 ถึง n ติดอยู่ ขั้นแรกผมหยิบไพ่หมายเลข 1 ส่งให้คุณ แล้วคุณเก็บไว้ หลังจากนั้นผมส่งไพ่หมายเลข 2 ให้คุณ โดยคุณทำการตัดสินใจเก็บไพ่หมายเลข 2 แทนไพ่ที่คุณเก็บไว้ในปัจจุบันด้วยความน่าจะเป็น 1/2 หลังจากนั้นผมจึงส่งไพ่หมายเลข 3, 4, 5, ... ให้ตามลำดับจนกระทั่งครบทั้ง n ใบ โดยเมื่อผมส่งไพ่หมายเลข k ให้คุณ คุณจะเลือกเก็บไพ่หมายเลข k แทนไพ่ที่เก็บไว้ในปัจจุบันด้วยความน่าจะเป็น 1/k
จงแสดงไพ่ท้ายสุดเลย ไพ่ทุกใบมีโอกาสที่จะเป็นไพ่ที่คุณเก็บไว้ใบสุดท้ายเท่าๆ กัน
ข้ัอ 7
ให้ เป็น permutation สุ่มของเซต โดยมันมีโอกาสจะเป็น permutation ใดๆ ใน permutation n! ตัวที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน
เมื่อเราทำการเรียงลำดับ เลข จะต้องถูกเลื่อนเป็นระยะทาง ไปยังตำแหน่งที่มันอยู่ตอนต้น ไปยังตำแหน่งที่เหมาะสมในลำดับที่เรียงแล้ว
จงหา ซึ่งมีค่าเท่ากับระยะทางที่เลขทุกตัวจะถูกเลื่อนโดยเฉลี่ย
![{\displaystyle E{\bigg [}\sum _{i=1}^{n}|a_{i}-i|{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94d2c057b76c25bdd6c94ca57773378cdd2e234)
ข้่อ 8
คุณเล่นเกมพนันต่อไปนี้ คุณเริ่มต้นด้วยเงินต้น S หน่วย หลังจากนั้นจะมีการโยนเหรียญที่ไม่ถ่วงน้ำหนัก n ครั้ง สำหรับการโยนเหรียนแต่ละครั้ง
- ถ้าเหรียญออกหัว เจ้ามือจะจ่ายเงินให้คุณเพื่อทำให้คุณมีเงินสองเท่าของเงินที่คุณมีอยู่ตอนนั้น
- ถ้าเหรียญออกก้อย คุณจะต้องจ่ายเงินให้เจ้ามือเพื่อทำให้คุณมีเงินเหลือเพียง 1/4 ของเงินที่คุณมีในตอนนั้น
ยกตัวอย่างเช่น สมมติให้ S = 100 บาท ถ้าการโยนเหรียญครั้งแรกออกหัว เจ้ามีจะจ่ายเงินให้คุณ 100 บาท ทำให้คุณมีเงิน 200 บาท และถ้าการโยนเหรียญครั้งที่สองออกก้อย คุณต้องจ่ายเงินให้เจ้ามือ 150 บาท เหลือ 50 บาท (= 200/4)
- ให้ เป็นจำนวนเงินที่คุณมีหลังจากโยนเหรียญ n ครั้ง จงหาค่า
- ให้ เป็นจำนวนหัวที่ออกในการโยนเหรียญ n ครั้ง จะต้องมีค่าน้อยที่สุดเท่าไหร่คุณถึงจะไม่ขาดทุน?
- จงหา และ
- จงใ้ช้อสมการของมาร์คอฟและอสมกาารของเชบิเชฟหาขอบเขตบนของความน่าจะเป็นที่คุณจะไม่ขาดทุน
![{\displaystyle E[X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5b3c3c07807b375d43fe8574a4d9242597371c)
![{\displaystyle E[Y_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1827f3239b417e0ae3b719ad47d2263b016a28ef)
![{\displaystyle \mathrm {Var} [Y_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b80045699392bbec98fb32a3a36ff7f25fefb478)
