ผลต่างระหว่างรุ่นของ "Sgt/lecture2"
ไปยังการนำทาง
ไปยังการค้นหา
Tanee (คุย | มีส่วนร่วม) (หน้าที่ถูกสร้างด้วย 'สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกั...') |
Tanee (คุย | มีส่วนร่วม) |
||
| แถว 1: | แถว 1: | ||
สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของ eigen vector, eigen value ลำดับที่ 2 | สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของ eigen vector, eigen value ลำดับที่ 2 | ||
| − | นิยาม [http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient Rayleigh quotient] สำหรับ vector ''x'' และ symmetric matrix ''M'' เขียนแทนด้วย | + | นิยาม [http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient Rayleigh quotient] สำหรับ vector ''x'' และ symmetric matrix ''M'' เขียนแทนด้วย <math>R(M, x)</math> คือ <math>\frac{x^TMx}{x^Tx}</math> |
| − | |||
| − | <math>\frac{x^TMx}{x^Tx}</math> | ||
| − | |||
โดยสังเกตว่าถ้า ''x'' เป็น eigen vector ของ ''M'' ค่า Rayleigh quotient จะมีค่าเป็น eigen value ที่สอดคล้องกับ ''x'' | โดยสังเกตว่าถ้า ''x'' เป็น eigen vector ของ ''M'' ค่า Rayleigh quotient จะมีค่าเป็น eigen value ที่สอดคล้องกับ ''x'' | ||
| − | เนื่องจาก | + | เนื่องจาก<math>R(M,x) = \frac{x^T(Mx)}{x^Tx} = \frac{x^T(\lambda x)}{x^Tx} = \frac{\lambda(x^Tx)}{x^Tx} = \lambda</math> |
| − | |||
| − | <math>R(M,x) = \frac{x^T(Mx)}{x^Tx} = \frac{x^T(\lambda x)}{x^Tx} = \frac{\lambda(x^Tx)}{x^Tx} = \lambda</math> | ||
| − | และเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า | + | และเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า "ให้ <math>M</math> เป็น symmetric matrix ถ้า <math>x</math> เป็น non-zero vector ที่ทำให้ <math>R(M,x)</math> มีค่ามากที่สุด แล้ว <math>x</math> จะเป็น eigen vector ของ <math>M</math> ที่สอดคล้องกับ eigen value ที่มากที่สุด" |
| − | + | เราจะพิสูจน์โดยการใช้ [http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theory Spectral theory] ([[sgt/lecture1|เนื้อหาครั้งที่ 1]]) | |
| + | ให้ ''M'' มี dimension ขนาด ''n'' (symmetric) ได้ว่า ''M'' มี eigen value | ||
| + | <math>\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \ldots \leq \lambda_n</math> | ||
| + | และ eigen vector <math>\phi_i</math> ที่สอดคล้องกับ <math>\lambda_i</math> | ||
| + | เพื่อความสะดวก เราให้ว่า ||''x''|| = 1 และ ||<math>\phi_i</math>|| = 1 สำหรับทุก ''i'' | ||
| + | และเราสามารถเขียน ''x'' ในรูป <math>x = \sum\limits_{i=1}^n (\phi_i^T \cdot x)\phi_i</math> | ||
รุ่นแก้ไขเมื่อ 04:27, 26 มกราคม 2558
สำหรับเนื้อหาในสัปดาห์นี้ เราเรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของ eigen vector, eigen value ลำดับที่ 2
นิยาม Rayleigh quotient สำหรับ vector x และ symmetric matrix M เขียนแทนด้วย คือ โดยสังเกตว่าถ้า x เป็น eigen vector ของ M ค่า Rayleigh quotient จะมีค่าเป็น eigen value ที่สอดคล้องกับ x เนื่องจาก
และเราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทว่า "ให้ เป็น symmetric matrix ถ้า เป็น non-zero vector ที่ทำให้ มีค่ามากที่สุด แล้ว จะเป็น eigen vector ของ ที่สอดคล้องกับ eigen value ที่มากที่สุด"
เราจะพิสูจน์โดยการใช้ Spectral theory (เนื้อหาครั้งที่ 1) ให้ M มี dimension ขนาด n (symmetric) ได้ว่า M มี eigen value และ eigen vector ที่สอดคล้องกับ เพื่อความสะดวก เราให้ว่า ||x|| = 1 และ |||| = 1 สำหรับทุก i และเราสามารถเขียน x ในรูป
